Практическая работа №12

Тема работы: Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Теоретические сведения.

Допустим, производится эксперимент (опыт), об условиях которого можно сделать n взаимно исключающих друг друга предположений (гипотез): H 1, H 2,..., Hn. Каждая гипотеза представляет из себя некоторое событие; все они попарно несовместны и образуют полную группу (т.е. в результате эксперимента может реализоваться ровно одна из гипотез). Вероятности гипотез должны быть предварительно найдены; пусть они равны P (H 1), P (H 2),..., P (Hn). Отметим, что если при решении задачи гипотезы введены правильно, и их вероятности найдены верно, то справедливо равенство P (H 1) + P (H 2) +...+ P (Hn) =1.

Если равенство не выполняется, это говорит о том, что либо система гипотез введена неверно, либо имеются ошибки в вычислении вероятностей гипотез. Далее рассматривается некоторое событие A, вероятность которого нужно определить. При этом сначала находятся условные вероятности P (A / H 1), P (A / H 2),..., P (A / Hn). Затем вероятность события А находится по следующей формуле полной вероятности

Вероятности P (Hi), i=1, 2,..., n, вычисляются до проведения эксперимента. В зависимости от появления или непоявления события A в результате эксперимента вероятности гипотез могут быть уточнены. Условные вероятности гипотез P (Hk / A) могут быть найдены с помощью формулы Байеса (или Бейеса)

Примеры решений:

Задача 1. В магазине три холодильника, в которых заканчивается мороженое. В первом 4 белых и 6 шоколадных, во втором - 2 белых и 8 шоколадных, в третьем - 3 белых и 7 шоколадных. Наугад выбирают холодильник и вынимают из него мороженое. Определить вероятность того, что оно белое.

Решение. Обозначим события следующим образом: H_i – выбран i - й холодильник, A – выбрано белое мороженое

Тогда имеем:

Вероятности, что из каждого холодильника можно извлечь белое мороженое будут равны

Используя формулу полной вероятности, находим:

Таким образом, вероятность вытащить белое мороженое равна 0,3 или 30%.

Задача 2. В офисе есть четыре ноутбука изготовленных компанией A, 6 – компанией B, 8 компанией C и два, которые производит D. Гарантии, что ноутбуки этих компаний будут работать в течение гарантийного срока, без ремонта составляют 70%, 80%, 85%, и 55% для каждой из них. Нужно найти вероятность, что выбранный ноутбук будет работать без ремонта в течение гарантийного срока.

Решение. Обозначим события следующим образом: H_i – выбран ноутбук компании i, А – ноутбук проработает без ремонта.

Вероятности выбора ноутбука каждой из компаний считаем равносильными их количеству, на основе этого вероятности примут значения:

Вероятности, что они будут работать без ремонта, равны

Здесь мы просто переводим проценты в вероятность.
Применяем формулу полной вероятности:

Вероятность безремонтной работы ноутбука равна 0,775.

Задача 3. Заданы условия первой задачи. Нужно установить вероятность того, что мороженое извлекли из второго холодильника.

Решение. Выпишем результаты первой задачи, необходимые для вычислений

и подставим в формулу Байеса

Как можно видеть, вычисления по формуле несложные, главное понять, что и как определяется.

Задача 4. Для задачи 2 нужно установить вероятность того, что исправный ноутбук принадлежит к компаниям C, D.

Решение. Выпишем предварительно найдены вероятности

и проведем вычисления по формуле Байеса