Определители. Определителем 2-го порядка с элементами а11, а12, а21, а22 называется число, которое обозначается и вычисляется следующим образом

Пусть дана система из m уравнений c n неизвестными:

Матрицы А= , X= , В=

Называются соответственно матрицей коэффициентов, матрицей- столбцом неизвестных и матрицей- столбцом правых частей. С их помощью систему можно записать в эквивалентной матричной форме:

АХ=B

а) Метод Крамера.

Если m=n, то есть число неизвестных равно числу уравнений, и если основной определитель системы отличен от нуля:

то решение системы единственно и определяется по формулам

где определители D_i получаются из основного определителя D заменой i-го столбца на столбец правых частей.

б) Метод Гаусса.

Этот метод пригоден для произвольных систем, в том числе и для случая, когда число уравнений меньше числа неизвестных.

I шаг. Пусть а_{11 .} Разделим 1-ое уравнение на а₁₁, а затем умножим его на –а₂₁, на –а₃₁ и т.д. и прибавим соответственно ко 2-му, 3-му и т.д. уравнениям. Система примет вид, в котором все уравнения, начиная со 2-го, не содержат x₁:

II шаг. Делаем то же самое с получившейся системой из (m-1)-го уравнения относительно x_{2 ……..}x_n и исключаем x₂ из всех уравнений, следующих за 2-м, и так далее.

В конечном итоге система приводится либо к треугольному виду:

откуда последовательно определяются x_n, x_n-1, …x₁ (решение единственно); либо система приводится к трапецеидальному виду (решение единственно); либо система приводится к трапецеидальному виду (решение не единственно); либо на каком-то шаге возникает уравнение вида 0=1- в этом случае система не имеет решений.

При решении системы методом Гаусса удобно преобразовывать указанным способом не саму систему, а отвечающую ей расширенную матрицу коэффициентов

Пример. Решить систему линейных уравнений (n=3)

двумя способами: По методу Крамера, методом Гаусса.

Решение

1) Метод Крамера

Вычислим определитель матрицы коэффициентов А:

Так как , то система имеет единственное решение. Заменим в матрице А первый столбец столбцом правых частей и вычислим определитель получившейся матрицы:

Заменим поочередно второй и третий столбцы столбцом свободных членов и вычислим и

Тогда решение системы:

2) Метод Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу коэффициентов системы:

=

Преобразуем матрицу так, чтобы привести ее к треугольному или трапецеидальному виду.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы:

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2), а к третьей строке первую, умноженную на (-3):

Умножим вторую строку получившейся матрицы на (-2) и прибавим ее к третьей строке:

Запишем получившуюся систему, которая равносильна исходной:

Из последнего уравнения найдем x₃: x₃=-2, затем из второго уравнения найдем x₂: x₂=8x₃+19, то есть x₂=3, и из первого уравнения найдем x₁:

x₁=14-2x₂+3x₃=14-2×3+3×(-2)=2.

Окончательно получим x₁=2, x₂=3, x₃=-2.

Индивидуальные задания.