 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Теоретическая справка
|
|
Если коэффициенты при у, y ¢ и y ¢¢ – постоянные, то уравнение y ¢¢+ py ¢+ qy = 0, где p и q – вещественные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение уравнения имеет вид: y0 = C y1 + C y2, где у 1 и у 2 – два линейно независимых частных решения этого уравнения, С 1 и С 2 – произвольные постоянные.
Для нахождения линейно независимых частных решений у 1 и у 2 уравнения используется квадратное уравнение вида
k 2+ pk + q = 0, которое называется характеристическим уравнением для уравнения.
В таблице 1 приведены виды функций у 1 и у 2 и вид общего решения равнения в зависимости от вида корней характеристического уравнения.
Таблица 1.
| Корни характеристического уравнения | Вид функций у 1 и у 2 | Вид общего решения уравнения |
| Вещественные различные k1 ¹ k2 | y1=ek1x y2=ek2x | y0=C1 ek1x+C2 ek2x |
| Вещественные равные k 1= k 2= k | y 1= ekx, y2 =xekx | y0=C1 ekx+C2 xekx |
| Комплексно- сопряженные k 1,2 =a ± i b | y 1 =e a x cos ( b x), y 2= e a x sin(b x) | y= e a x(C1 cos ( b x)+C2 sin(b x)) |
Пример 1. Найти общее решение уравнения y ¢¢+16 y = 0.
Решение. Характеристическое уравнение для данного однородного уравнения имеет вид k 2+16 = 0 (коэффициент при y ¢ равен нулю). Его корнями являются комплексные числа k 1 = 4 i, k 2 = -4 i. Здесь a = 0, b = 4. Тогда общее решение данного уравнения: y =C1 cos(4x) +C2 sin(4x).
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 288 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
