Теоретическая справка. Рассмотрим действия над комплексными числами в тригонометрической форме записи

Рассмотрим действия над комплексными числами в тригонометрической форме записи.

Если комплексные числа z ₁ и z ₂ представить в тригонометрической форме: то

1)

2)

3) (формула Муавра)

Таким образом:

- произведением двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, является комплексное число, модуль которого равен произведению модулей этих чисел, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей;

- частным от деления двух комплексных чисел является комплексное число, модуль которого равен отношению модулей этих комплексных чисел, а аргумент равен разности их аргументов;

- n -ой степенью комплексного числа является число, модуль которого есть n -ая степень модуля первоначального числа, а аргумент равен произведению числа n на аргумент первоначального числа.

Пример 1. Записать комплексные числа и в тригонометрической форме и найти z ₁ · z ₂; и

Решение. 1) Найдем модуль и аргумент числа z ₁.

По определению . Для числа z ₁: a =1; b = - 1, тогда .

Найдем аргумент:

2) Запишем число в тригонометрической форме:

3) аналогично найдем модуль и аргумент числа z ₂, и запишем его в тригонометрической форме: .

4) Найдем произведение z ₁ · z ₂

z ₁· z ₂= = ;

Найдем частное :

= =

Найдем степень

= = =

Кроме умножения, деления, возведения в степень, тригонометрическая форма записи позволяет извлекать корни п -ой степени из комплексного числа.