Теоретические сведения. Для определения промежутков монотонности функции y = f(x) используют достаточный признак монотонности

Для определения промежутков монотонности функции y = f (x) используют достаточный признак монотонности.

Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:

Если на интервале х Î(а, b) производная f ‘ (x) сохраняет знак, то функция y = f (x) сохраняет монотонность на этом интервале, а именно: если f ‘(x) > 0, то f (x) возрастает, если f ‘(x) <0, то f (x) убывает.

Для установления точек экстремумов функции y = f (x) используют необходимый и достаточные признаки существования экстремума.

Необходимое условие существования экстремума функции: если непрерывная функция y = f (x) имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Точки, принадлежащие ООФ, в которых производная f ‘(x) равна нулю или не существует, называют критическими точками функции по ее первой производной (точками, «подозрительными на экстремум»).

Первый достаточный признак существования экстремума: если при переходе через критическую точку х₀ (слева направо) производная f ‘(x) изменяет свой знак, то в точке х₀ есть экстремум причем это максимум, если знак f ‘(x) меняется с плюса на минус, и это минимум, если знак f ‘(x) меняется с минуса на плюс. Если при переходе через критическую точку х₀ производная f ‘(x) не изменяет свой знак, то в точке х₀ нет экстремума функции f (x).

Второй достаточный признак существования экстремума: если y = f (x) – дважды дифференцируемая функция в точке х₀ и f ‘(x₀)=0, тогда: если f ‘’(x₀) < 0, то х₀ – точка минимума функции, а если f ‘’(x₀) > 0, то х₀ – точка максимума.

Для нахождения точек экстремумов функции y = f (x) сначала находят критические точки по первой производной. После этого проверяют выполнение в них достаточных условий существования экстремума функции.