Решение. Общий член данного степенного ряда

Общий член данного степенного ряда .

Используем признак Даламбера, находя предел

=

. Следовательно, интервал сходимости данного ряда: .

Исследуем сходимость данного ряда на границе интервала сходимости, а именно при и .

При получим числовой ряд , который расходится как ряд Дирихле , где .

При получим числовой знакочередующийся ряд , который сходится согласно признаку Лейбница.

Следовательно, областью сходимости степенного ряда является полуинтервал .

Ответ: Область сходимости .

Пример 81. Найти область сходимости функционального ряда .