Решение. Найдем сначала общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения

Найдем сначала общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения

.

Его характеристическое уравнение имеет корни: , , .

Следовательно,

-общее решение однородного уравнения.

Находим частное решение данного уравнения. Правая часть

,

причем - корень характеристического уравнения, так как , кратности .

Поэтому частное решение ищем в виде

, где и - неопределенные коэффициенты. Найдем , , и подставим в данное уравнение:

,

,

,

получим

,

или

Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид:

.

Следовательно,

- искомое общее решение уравнения.

Ответ:

Пример 78. Исследовать сходимость рядов.

а) ; б) ;

в) ; г) .