Решение. а) . Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению и стремятся к нулю:

а) . Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению и стремятся к нулю:

и .

Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится.

Чтобы установить, сходится ли данный ряд абсолютно или условно, исследуем ряд с положительными членами , составленный из абсолютных значений членов данного ряда.

Применяем интегральный признак

.

Отсюда заключаем, что ряд с положительными членами расходится.

Следовательно, данный ряд сходится условно.

Ответ: ряд сходится условно.

б) . Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению и стремятся к нулю:

и .

Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда . Применяем признак сравнения II. Возьмем для сравнения ряд , который сходится как ряд Дирихле , если .

Находим предел

.

Поэтому, согласно признаку сравнения II, данный ряд с положительными членами сходится.

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Ответ: ряд сходится абсолютно.

Пример 80. Найти область сходимости степенного ряда

.