Решение. а) . Применяем интегральный признак сходимости ряда

а) . Применяем интегральный признак сходимости ряда. Для этого рассмотрим несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом от функции.

в промежутке .

.

Несобственный интеграл сходится. Поэтому согласно интегральному признаку и данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

б) . Применяем признак Даламбера.

.

Таким образом . Поэтому, согласно признаку Даламбера, данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

в) . Применяем признак Коши.

Так как . Поэтому, согласно признаку Коши, данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

г) . Применяем признак сравнения I. Возьмем для сравнения ряд , который сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, знаменатель которой

. Каждый член данного ряда, начиная со второго, меньше соответствующего члена , так как выполняется неравенство:

.

Поэтому, согласно признаку сравнения I, данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример79. Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.

а) ; б) .