Решение. Рассматривая как постоянную величину, находим:

Рассматривая как постоянную величину, находим:

.

Аналогично, рассматривая как постоянную, находим:

.

Ответ: ; .

Пример 50. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию

Применяем формулу:

,

где , , , .

; , тогда получим

Ответ: .

Пример 53. Найти , если , где , .

Решение. Применяем формулу

.

Ответ:

Пример60. Найти условный экстремум функции

При условии, что удовлетворяют условию

Решение.

Составляем функцию Лагранжа

и находим частные производные:

; .

Необходимые условия экстремума сводятся к системе трех уравнений:

,

, , ;

, , .

Аким образом, нашли две стационарные точки и . Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа.

Пример 64.1 Найти общее решение дифференциального уравнения