Лекция 9. Если прямые g и g' совпадают, то проективное отображение прямой g на прямую g' называется проективным преобразованием прямой g

Если прямые g и g' совпадают, то проективное отображение прямой g на прямую g' называется проективным преобразованием прямой g. Наиболее простым примером проективного преобразования прямой является тождественное преобразование, т. е. преобразование, в котором каждая точка переходит в себя.

Теорема 1. Если R и R^/ —- произвольные реперы на прямой g, то существует одно и только одно проективное преобразование прямой g, которое репер R переводит в репер R^/.

Пусть - проективное преобразование прямой g. Точку этой прямой назовем инвариантной (неподвижной) точкой преобразования , если она переходит в себя в этом преобразовании. Из теоремы 1 легко заключить, что существуют проекгивные преобразования, имеющие неподвижные точки.

Можно показать, что нетождественное проективное преобразование прямой не может иметь более двух неподвижных точек.

Теорема 2. Если проективное преобразование прямой имеет три неподвижные точки, то оно является тождественным преобразованием.

Пусть - проективное преобразование прямой g. Преобразование , обратное преобразованию , также является проективным преобразованием прямой g, так как оно является взаимно однозначным отображением и сохраняет сложное отношение четырех точек. Нетождественное проективное преобразование прямой называется инволюцией, если оно совпадает с обратным преобразованием.

Из этого определения следует, что если произвольная точка М в данной инволюции переходит в точку М’, то точка М’ в той же инволюции переходит в точку М. Таким образом инволюция разбивает все точки прямой g на пары точек, соответствующих друг другу.

Следующая теорема выражает признак инволюции.

Теорема 3. Если в данном проективном преобразовании какая-то точка А прямой переходит в точку В, отличную от точки А, а точка В переходит в точку А, то -инволюция.

Так как инволюция- нетождественное проебразование прямой, то по теореме 2 она не может иметь более двух инвариантных точек. Можно показать, что любая инволюция либо не имеет ни одной инвариантной точки, либо имеет две инвариантные точки.

Инволюция называется эллиптической, если она не имеет инвариантных точек, и гиперболической, если она имеет две инварнантоые точки.

В заключение отметим следующее интересное свойство гиперболической инволюции: две инвариантные точки гиперболической инволюции гармонически разделяют любые две несовпадающие соответствующие точки этой инволюции.