Лекция 13

Рассмотрим задачи на построение связанные с овальной линией второго порядка. Эти задачи связаны со следующими теоремами.

Теорема1. Если на плоскости даны пять точек общего положения, то существует единственная овальная линия, проходящая через эти точки.

Теорема 2. Если на плоскости даны четыре точки общего положения и прямая, проходящая через одну из них и не проходящая через три другие, то существует единственная овальная линия, проходящая через данные точки, для которой данная прямая является касательной.

Задача 1. Даны пять точек общего положения и прямая, проходящая через одну из них и не проходящая через остальные точки. Построить вторую точку пересечения данной прямой с овальной линией , проходящей через данные пять точек.

Решение. Задачу можно решить двумя способами.

Первый способ. Этот способ основан на теореме Штейнера. Пусть О, О’, А, В и С- данные точки, а —данная прямая, проходящая через точку О. Рассмотрим проективное отображение пучков О и О’, которое переводит прямые ОА, ОВ и ОС

Рис. 1

соответственно в прямые О’А, О’В и О’С. Отображение по теореме Штейнера порождает линию . Если теперь построить прямую , то, очевидно, искомой точкои М является точка пересечения прямых и .

На рис. 1 выполнено построение точки М. На нем - произвольные прямые, проведенные через точку А и не проходящие через точки О и О’. Точка S— центр перспективного отображения: , которое порождается отображением . Искомой точкой являлась точка пересечения прямых и О’З’.

Второй способ. Этот способ основан на теореме Паскаля. Данные точки обозначим через А, В, С, D, Е и допустим, что данная прямая проходит через точку А (рис. 2). Пусть М — искомая точка. Тогда шестивершинник АВСDЕМ вписан в овальную линию, поэтому точки лежат на одной прямой. По условиям задачи строим точки Р и R (заметим, что МА -данная прямая ), а затем точку . Искомая точка М получена как точка пересечения прямых и EQ (рис. 2).

Эта задача может быть использована для построения точек овальной линии, заданной пятью точками общего положения.

Рис.2