Лекция 12. Рассмотрим конструктивные теоремы теории овальных линий второго порядка.

Рассмотрим конструктивные теоремы теории овальных линий второго порядка.

Определение. Точка М плоскости, не лежащая на данной овальной линий второго порядка , назывется внутренней точкой относительно линии , если любая прямая, проходящая через точку М пересекает линию в двух вещественных точках. Если же точка М не лежит на линии и не является внутренней, то она называется внешней относительно линии .

Из определения следует, что точки лежащие на касательной к линии , не могут быть внутренними относительно линии .

Лемма. Точка является внутренней точкой относительно овальной линии, заданной уравнением

(1)

тогда и только тогда, когда

Из леммы следует, что точка является внешней точкой относительно овальной линии (1) тогда и только тогда, когда

.

Через любую точку, внешнюю относительно овальной линии , проходят две и только две касательные.

Теорема Штейнера. Даны два пучка с различными центрами О₁ и О₂ и установлено проективное, но не перспективное отображение F первого пучка на второй. Тогда множество точек пересечения соответственных прямых этих пучков является овальной линиией второго порядка, проходящей через точки О₁ и О_2.

Обратная теорема.Дана овальная линия второго порядка и на ней две произвольные точки О1 и О2. Каждой прямой О1 М пучка с центром О1 поставим в соответсвие прямую О2 М пучка с центром О2, где М - произвольная точка линии, не совпадающая с точками О1 и О2. Касательной в точке О1 поставим в соответсвие прямую О2О1, а прямой О1 О2 - касательную в точке О2. Полученное отображение является проективным, но не перспективным отображением пучка с центром О1 на пучок с центром О2..

Теорема Штейнера позволяет дать геометрическое определение овальной линии второго порядка при помощи проективного отображения одного пучка прямых на другой; обратная теорема устанвливает, что центры этих пучков на овальной линии можно выбрать произвольно.

- шесть точек общего положения, заданных в определенном порядке.

Определение. Фигура, образованная этими точками и шестью прямыми , называется шестивершинником и обозначается

Теорема Паскаля. Точкипересечения противоположных сторон любого шестиугольника, вписанного в овальную линию второго порядка, лежат на одной прямой.

Обратная теорема Паскаля Если точки пересечения противоположных сторон шестивершинника лежат на одной прямой, то его вершины лежат овальной линии второго порядка.