Лекция 11. Теперь рассмотрим вопрос о пересечении линии заданной урвнением (1)

Теперь рассмотрим вопрос о пересечении линии заданной урвнением (1)

и прямой d, заданной параметрическими уравнениями:

(2)

где М₁(P₁,P₂, P₃), M₂(p₁, q₂,q₃)

после преобразования получим уравнения для определения и .

(3)

где

В зависимости от знака определителя возможны следующие случаи:

1) . Уравнение (3) не имеет вещественных решений относительно , , но имеет два непропорциональных комплексно-сопряженных решения. Поэтому прямая пересекается с линией в двух комплексно-сопряженных точках.

2) . Уравнение (3) имеет два непропорциональных вещественных решений относительно , . Поэтому прямая пересекается с линией в двух точках.

3) Уравнение (3) имеет только одно решение относительно. Поэтому прямая имеет только одну общую с линией точку. В этом случае прямая называется касательной к линии в точке.

Теорема: В каждой точке P(p₁, p₂, p₃) невырожденной линии второго порядка, заданной уравнением (1) существует единственная касательная, определяемая уравнением

(4)

Точки P(p₁, p₂, p₃) и Q(q₁, q₂, q₃) называются сопряженными относительно линии заданной уравнением (1), если выполняется условие

(5)

Рассмотрим точку P(p₁, p₂, p₃) плоскости и множество всех точек Х(х₁, х₂, х₃), каждая из которых сопряжена с точкой Р относительно линии . Используя соотношение (5) получим уравнение множества :

Так как - невырожденная линия второго порядка, то в этом уравнении не все коэффициенты при х₁, х₂, х₃ равны нулю, поэтому множество - прямая линия. Эта прямая называется полярой точки Р, а сама точка Р –полюсом прямой .

Для каждой точки Р плоскости существует определенная поляра и обратно: для каждой прямой

U₁X₁+U₂X₂+ U₃X₃=0

существует единственный полюс Р, координаты которого находим из уравнений

Поляры двух различных точек не совпадают, т.к. в противном случае одна и та же прямая имела бы два полюса.