Лекция 8. Определение: Рассмотрим прямые g и g' проективной плоскости

Определение: Рассмотрим прямые g и g' проективной плоскости. Взаимно однозначное отображение множества точек прямой g на множество точек прямой g' называется проективным отображением, если оно сохраняет сложное отношение четырех точек, т.е. если М_1, М_2, М₃, М_{4 –} четыре произвольные точки прямой g, а М’_1, М’_2, М’_3, М’₄ - их образы, то (М₁ М₂, М₃ М₄)=(М’₁ М’₂, М’₃ М’₄) _.

F: g → g'

При проективном отображении прямой на прямую сохраняется гармоническая разделенность пар точек.

ТЕОРЕМА 1:

Если R=(М₁, М₂, М₃), R’=(М’₁, М’_2, М’₃) – произвольные реперы на прямых g и g', то существует одно и только одно проективное отображение g на g', которое репер R переводит на R’.

Пусть g и g' две прямые, а О- точка не лежащая на этих прямых. Каждой точке М прямой g поставим в соответствие проекцию М^/ этой точки на прямую g' из центра О (Рис.1).

Рис. 1

Так как на проективной плоскости любые две прямые пересекаются, то полученное отображение является взаимно однозначным. При этом отображении сохраняется сложное отношение четырех точек, т.е. отображение является проективным. Оно называется перспективным отображением прямой g на прямую g'. Точка О называется центром перспективы.

ТЕОРЕМА 2:

Для того чтобы проективное отображение F: g → g' было перспективным, необходимо и достаточно, чтобы точка пересечения g и g' переходила в себя.

Пользуясь принципом двойственности введем понятие проективного отображения пучков. Рассмотрим два пучка прямых с центрами в точках О и О^/.

Определение:

Взаимо-однозначное отображение пучка О на пучок О’ называется проективным, если оно сохраняет сложное отношение 4-х прямых.

ТЕОРЕМА 3:

Если –три произвольные прямые пучка О, а - три произвольные прямые пучка О’, то существует одно и только одно проективное отображение пучка О на пучок О’, которое прямые переводит соответственно в прямые .

Теорема двойственная теореме 2

ТЕОРЕМА 4:

Для того чтобы данное проективное отображение одного пучка на другой пучок было перспективным необходимо и достаточно, чтобы прямая проходящая через центры пучков переходила в себя.