![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Если на проективной плоскости задан репер R = (А1, А2, А3, Е), то любая точка плоскости имеет проективные координаты , которые являются действительными числами, не равными нулю одновременно. Обратно: любые три действительные числа, не равные одновременно нулю, взятые в определенном порядке, являются координатами некоторой точки.
Для большей общности дальнейших исследований расширим понятие точки, т. е. дополним проективную плоскость так называемыми мнимыми точками. Введем следующее соглашение: при выбранном репере R точкой назовем любую тройку чисел , не равных одновременно нулю, взятых в определенном порядке. Здесь
, где С — множество всех комплексных чисел. Числа
называются координатами точки. Точки (
и
совпадают тогда и только тогда, когда существует число
, такое что
. Таким образом, координаты точки определены с точностью до общего множителя.Точка М называется вещественной, если ее координаты вещественные числа или могут быть приведены к вещественным пуием умножения на какое –нибудь комплексное число
, противном случае точка называется мнимой. Множество всех вещественных и мнимых точек называется комплексной проективной плоскостью.
Определение: Множество всех точек проективной плоскости, координаты которых, в некотором репере R, удовлетворяет однородному уравнению второй степени, т.е. уравнению вида:
(1)
называется линией или кривой второго порядка.
Понятие линии второго порядка не зависит от выбора репера R.
Уравнение (1) в сокращенном виде записывается так:
(2)
Левая часть уравнения (1) определяет на пространстве V квадратичную форму (3)
Ранг квадратичной формы (3) называется рангом линии второго порядка, заданной уравнением (1). Линия называется невырожденной, если ранг этой линии равен трем, и вырожденной если
.
Лемма: Произвольная прямая пересекает невыраженную линию второго порядка не более чем в двух точках. Понятие линии второго порядка и ее ранга является проективными, т.е. эти понятия не меняются при любых проективных преобразованиях плоскости.
Теорема: При любом проективном преобразовании линия второго порядка ранга
переходит в линию второго порядка ранга
.
В репере R линия второго порядка задана уравнением
, также рассмотрим квадратичную форму:
Приведем квадратичную форму к нормальному виду
, (4)
где коэффициенты равны -1, +1 или 0, но не все они одновременно равны нулю.
В зависимости от ранга линии
рассмотрим возможные случаи:
1)
а) все коэффициенты в (4) одного знака, скажем положительные, тогда получим:
(5)
эта линия не имеет ни одной вещественной точки, называется нулевой линией второго порядка
б) коэффициенты разных знаков, скажем 1 =
2=1,
3= -1 получим
(6)
Эта линия называется овальной линией второго порядка
2) , т.е. один коэффициент в уравнении (4) равен 0, например
3= 0.
а) 1 и
2 одного знака, пусть положительные, тогда получим
(7)
Кривая распадается на пару мнимых прямых
б) 1 и
2 разных знаков, тогда получим
(8)
Кривая распадается на пару вещественных прямых
(4)
3) r =1, т.е. в уравнении 2 коэффициента равны 0, скажем
1=1,
2=
3=0 получаем
(9)
В этом случае линия представляет собой пару совпадающих прямых.
Теорема: На проективной плоскости существуют 5 типов кривых второго порядка
1)
2)
3)
4)
5)
Эта квалификация проведена по рангу линий второго порядка и по наличию вещественных точек. Указанные типы линий проективно различны, т.е. не существует проективного преобразования, которое переводит линию одного типа в линию другого типа.
Дата публикования: 2015-04-06; Прочитано: 256 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!