Лекция 10. Для большей общности дальнейших исследований расширим понятие точки, т

Если на проективной плоскости задан репер R = (А₁, А₂, А_3, Е), то любая точка плоскости имеет проективные координаты , которые являются действительными числами, не равными нулю одновременно. Обратно: любые три действительные числа, не равные одновременно нулю, взятые в определенном порядке, являются координатами некоторой точки.

Для большей общности дальнейших исследований расширим понятие точки, т. е. дополним проективную плоскость так называемыми мнимыми точками. Введем следующее соглашение: при выбранном репере R точкой назовем любую тройку чисел , не равных одновременно нулю, взятых в определенном порядке. Здесь , где С — множество всех комплексных чисел. Числа называются координатами точки. Точки ( и совпадают тогда и только тогда, когда существует число , такое что . Таким образом, координаты точки определены с точностью до общего множителя.Точка М называется вещественной, если ее координаты вещественные числа или могут быть приведены к вещественным пуием умножения на какое –нибудь комплексное число , противном случае точка называется мнимой. Множество всех вещественных и мнимых точек называется комплексной проективной плоскостью.

Определение: Множество всех точек проективной плоскости, координаты которых, в некотором репере R, удовлетворяет однородному уравнению второй степени, т.е. уравнению вида:

(1)

называется линией или кривой второго порядка.

Понятие линии второго порядка не зависит от выбора репера R.

Уравнение (1) в сокращенном виде записывается так:

(2)

Левая часть уравнения (1) определяет на пространстве V квадратичную форму (3)

Ранг квадратичной формы (3) называется рангом линии второго порядка, заданной уравнением (1). Линия называется невырожденной, если ранг этой линии равен трем, и вырожденной если .

Лемма: Произвольная прямая пересекает невыраженную линию второго порядка не более чем в двух точках. Понятие линии второго порядка и ее ранга является проективными, т.е. эти понятия не меняются при любых проективных преобразованиях плоскости.

Теорема: При любом проективном преобразовании линия второго порядка ранга переходит в линию второго порядка ранга .

В репере R линия второго порядка задана уравнением , также рассмотрим квадратичную форму:

Приведем квадратичную форму к нормальному виду

, (4)

где коэффициенты равны -1, +1 или 0, но не все они одновременно равны нулю.

В зависимости от ранга линии рассмотрим возможные случаи:

1)

а) все коэффициенты в (4) одного знака, скажем положительные, тогда получим:

(5)

эта линия не имеет ни одной вещественной точки, называется нулевой линией второго порядка

б) коэффициенты разных знаков, скажем ₁ = ₂=1, ₃= -1 получим

(6)

Эта линия называется овальной линией второго порядка

2) , т.е. один коэффициент в уравнении (4) равен 0, например ₃= 0.

а) ₁ и ₂ одного знака, пусть положительные, тогда получим

(7)

Кривая распадается на пару мнимых прямых

б) ₁ и ₂ разных знаков, тогда получим

(8)

Кривая распадается на пару вещественных прямых

(4)

3) r =1, т.е. в уравнении 2 коэффициента равны 0, скажем

₁=1, ₂= ₃=0 получаем

(9)

В этом случае линия представляет собой пару совпадающих прямых.

Теорема: На проективной плоскости существуют 5 типов кривых второго порядка

1)

2)

3)

4)

5)

Эта квалификация проведена по рангу линий второго порядка и по наличию вещественных точек. Указанные типы линий проективно различны, т.е. не существует проективного преобразования, которое переводит линию одного типа в линию другого типа.