Лекция 5. Пусть на проективной прямой d даны точки A, B, C и D так, что A, B и C – различные точки, а D не совпадает с точкой А

Пусть на проективной прямой d даны точки A, B, C и D так, что A, B и C – различные точки, а D не совпадает с точкой А. Рассмотрим проективный репер R₀=(A,B,C) прямой d и обозначим через координаты точки D в этом репере. Так как точка D не совпадает с точкой А, то . Число называется сложным (двойным, ангармоническим) отношением точек A, B, C, D и обозначается .

Теорема 1: Если (.) А, В и С - различные точки прямой и - произвольное действительное число, то на данной прямой существует одна и только одна точка Х этой прямой, для которой (АВ, СХ) =λ.

Следствие: Если на прямой даны (точки А, В, С, D, D^/ удовлетворяющие условию (АВ,СD)=(АВ,СD’), то точки D и D’ совпадают.

Теперь вычислим сложное отношение 4-х точек прямой по их координатам:

Теорема 2: Если точки А,В,С,D лежащие на одной прямой, имеют в некотором репере R координаты А ( а а ), В (в в ), С (с с ), D (d d ),причем точки А, В, С различны и точка D не совпадает, то

(1)

Свойства сложного отношения 4-х точек прямой:

1. (2)

2. , (3)

3. (4)

4. , (5)

5. (6)

Определение: Пусть A, B, C и D – четыре точки прямой d. Будем говорить, что пара точек АВ разделяет пару точек CD, если и не разделяет пару точек CD если .

Из свойств сложного отношения четырух точек следует что понятие разделенности не зависит от того в каком порядке рассматривается АВ и CD и от того, в каком порядке рассматриваются точки в каждой паре.

Теперь рассмотрим, в чем заключается геометрический смысл сложного отношения четырех точек прямой.

Теорема 3: Если A, B, C и D – собственные точки, а несобственная точка расширенной прямой, то

,

где простые отношения соответствующих точек.

Введем понятие сложного отношения четырех прямых пучка. Пусть - четыре прямые некоторого пучка с центром О. Рассмотрим произвольную прямую g, не проходящую через точку О, и обозначим через A, B, C, D точки пересечения прямой g с прямыми . Число называется сложным отношением прямых и обозначается так: . Из вышеизложенного следует, что не зависит от выбора прямой g. Из свойств сложного отношения четырех точек прямой, рассмотренных выше вытекают следующие свойства сложного отношения четырех прямых пучка:

1.

2.

3.

4.

5. .