![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть на проективной прямой d даны точки A, B, C и D так, что A, B и C – различные точки, а D не совпадает с точкой А. Рассмотрим проективный репер R0=(A,B,C) прямой d и обозначим через координаты точки D в этом репере. Так как точка D не совпадает с точкой А, то
. Число
называется сложным (двойным, ангармоническим) отношением точек A, B, C, D и обозначается
.
Теорема 1: Если (.) А, В и С - различные точки прямой и - произвольное действительное число, то на данной прямой существует одна и только одна точка Х этой прямой, для которой (АВ, СХ) =λ.
Следствие: Если на прямой даны (точки А, В, С, D, D/ удовлетворяющие условию (АВ,СD)=(АВ,СD’), то точки D и D’ совпадают.
Теперь вычислим сложное отношение 4-х точек прямой по их координатам:
Теорема 2: Если точки А,В,С,D лежащие на одной прямой, имеют в некотором репере R координаты А (
а
а
), В (в
в
), С (с
с
), D (d
d
),причем точки А, В, С различны и точка D не совпадает, то
(1)
Свойства сложного отношения 4-х точек прямой:
1. (2)
2. ,
(3)
3. (4)
4. ,
(5)
5. (6)
Определение: Пусть A, B, C и D – четыре точки прямой d. Будем говорить, что пара точек АВ разделяет пару точек CD, если и не разделяет пару точек CD если
.
Из свойств сложного отношения четырух точек следует что понятие разделенности не зависит от того в каком порядке рассматривается АВ и CD и от того, в каком порядке рассматриваются точки в каждой паре.
Теперь рассмотрим, в чем заключается геометрический смысл сложного отношения четырех точек прямой.
Теорема 3: Если A, B, C и D – собственные точки, а несобственная точка расширенной прямой, то
,
где простые отношения соответствующих точек.
Введем понятие сложного отношения четырех прямых пучка. Пусть - четыре прямые некоторого пучка с центром О. Рассмотрим произвольную прямую g, не проходящую через точку О, и обозначим через A, B, C, D точки пересечения прямой g с прямыми
. Число
называется сложным отношением прямых
и обозначается так:
. Из вышеизложенного следует, что
не зависит от выбора прямой g. Из свойств сложного отношения четырех точек прямой, рассмотренных выше вытекают следующие свойства сложного отношения четырех прямых пучка:
1.
2.
3.
4.
5. .
Дата публикования: 2015-04-06; Прочитано: 299 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!