Лекция 1. Проективная геометрия возникла в первой половине 19 века, ее основание заложил французский математик Понселе

Проективная геометрия возникла в первой половине 19 века, ее основание заложил французский математик Понселе, который в качестве объекта изучения выделил некоторые особые свойства геометрических фигур. Эти свойства связаны с центральным проектированием и названы им проективными. В начале проективная геометрия применялась в связи с проектированием фигур в евклидовом пространстве. По мере накопления фактов проективная геометрии превратилась в самостоятельную дисциплину, в этом существующую роль сыграло введение несобственных или бесконечно удаленных геометрических элементов. К проективным свойствам фигур относятся, в частности, свойство точек лежат на одной прямой или свойство точек лежат на одной линии второго порядка. Однако, свойство точки лежать между двумя другими не является проективным. Не являются проективными метрические свойства фигур, свойства связанные с параллельностью прямых. После введения несобственных или бесконечно удаленных геометрических элементов вытекают следующие утверждения:

1) Различные 2 прямые, лежащие в плоскости, пересекаются т.е. имеют общую точку.

2) Любая прямая, не лежащая в плоскости, пересекает плоскость т.е. имеет с ней общую точку.

3) Различные 2 плоскости пересекаются по прямой т.е. имеют общую прямую.

Определение: Пусть V – векторное пространство (n+1)- измерения, а - множество ненулевых векторов этого пространства. Непустое множество Р называется проективным пространством n измерения (порожденным векторным пространством V), если задано отображение , удовлетворяющее следующим условиям:

1) Отображение f сюрьективно, т.е. любой элемент из Р имеет хотя бы один прообраз.

2) Равенство выполняется тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

2. Определение: Упорядоченную систему точек А₁, А₂, А₃, Е плоскости называют проективным репером или проективной системой координат на плоскости и обозначают R=(A₁,A₂,A₃,E).

Точки А₁,А₂,А₃ называют вершинами, Е- единичной точкой репера, а прямые А₁А₂, А₂А₃, А₃А₁- координатными прямыми.

Рассмотрим какой-нибудь вектор , порождающии точку Х и систему векторов , согласованную относительно репера R. Если векторы принять за базис трехмерного пространства, то вектор можно разложить по этому базису:

Числа называются проективными координатами точки Х в репере R и обозначаются . Три точки лежащие на одной прямой называются коллинеарными.

Теорема: Три точки x (x₁,x₂,x₃), y(y₁,y₂,y₃), z(z₁,z₂,z₃) заданные координатами в репере R, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

=0.

Теорема: Если произвольная точка Х плоскости, отличная от точки А₃ в репере R имеет координаты х(х₁,х₂,х₃), то проекция Х₃ точка Х из центра А₃ на А₁А₂ в репере R₃ имеет координаты х₁х₂.

По аналогии с предыдущим вводится понятие координат точек на проективной прямой.

Упорядоченную систему трех точек А₁, А₂, Е проективной прямой называют проективным репером прямой и обозначают R=(A₁,A₂,E).

Точки А₁,А₂ называют вершинами, Е- единичной точкой репера.

Рассмотрим какой-нибудь вектор , порождающии точку Х прямой и систему векторов , согласованную относительно репера R. Если векторы принять за базис двумерного пространства, то вектор можно разложить по этому базису:

Числа называются проективными координатами точки Х в репере R и обозначаются .

Тема: Преобразование координат точек на плоскости и на прямой.

План:

1. Преобразование координат точек на плоскости

2. Преобразование координат точек на прямой.

Ключевые слова: вершины и единичная точка репера, матрица перехода от репера R к реперу R', система векторов согласована относительно R, задача преобразования координат точек проективной плоскости, формулы преобразования координат точек проективной плоскости, задача преобразования координат точек на проективной прямой.