Метод ортогонализации строк

Пусть дана система линейных уравнений . Преобразуем строки системы так, чтобы матрица перешла в матрицу с ортогональными строками. При этом вектор перейдет в вектор . В результате получим эквивалентную систему , откуда . Чтобы не вычислять обратную матрицу , воспользуемся свойством ортогональных матриц: диагональная матрица. Поэтому .

Матрица , обратная диагональной, находится просто:

Þ

Следовательно, решение системы сводится в основном к нахождению матрицы , которая может быть получена следующим образом. Из каждой -й строки системы вычтем первую строку, умноженную на . Получим матрицу . Множители должны быть такими, чтобы первая строка матрицы была ортогональна всем остальным строкам, т.е.

.

Над матрицей проделываем аналогичную операцию: из каждой ее -й строки вычтем вторую строку , умноженную на ,

.

Получаем матрицу и т.д., пока не получится матрица , все строки которой попарно ортогональны, т.е. матрицу .

Систему можно решить и по-другому. Пусть она приведена к виду , как было описано выше. Умножим каждое уравнение системы на

, .

Получим , где -ортогональная матрица. Поскольку у ортогональных матриц транспонированная матрица совпадает с обратной, то .