Метод вращений

Прямой ход метода. На первом шаге исключают из всех уравнений СЛАУ (1), кроме первого. Для этого вычисляют , , имеющие свойства , .

Затем первое уравнение системы заменяют линейной комбинацией первого и второго уравнений с коэффициентами и , а второе уравнение – аналогичной линейной комбинацией с коэффициентами и . В результате получаем систему

(8)

в которой , , , , . Было .

Если в исходной системе , то полагают , .

Выполненное преобразование эквивалентно повороту вектора вокруг оси на угол такой, что , .

Для исключения из третьего уравнения вычисляют

, ,

причем , .

Затем первое уравнение системы (8) заменяют линейной комбинацией первого и третьего уравнений с коэффициентами и , а третье уравнение – аналогичной комбинацией с коэффициентами и .

Таким же образом исключают из уравнений с номерами . В результате первого шага (состоит из малых шагов) система приводится к виду

(9)

На втором шаге метода вращений, состоящем из малых шагов, из уравнений системы (9) с номерами исключают . Для этого каждое -е уравнение комбинируют со вторым уравнением. В результате приходят к системе:

После завершения -го шага система примет вид

Обратный ход метода вращений – как в методе Гаусса.