Итерационные методы решений СЛАУ

Для систем средней размерности чаще используют прямые методы. Итерационные методы применяют для решения задач большой размерности, когда использование прямых затруднено из-за необходимости выполнения чрезмерно большого числа арифметических операций. Большие системы уравнений, как правило, бывают разреженными. Методы исключения приводят к тому, что большое число нулевых элементов превращаются в ненулевые, и матрица теряет свойство разреженности. А в ходе итерационного процесса матрица не меняется и остается разреженной. Большая эффективность итерационных методов по сравнению с прямыми методами связана с возможностью существенного использования разреженных матриц.

Метод простой итерации (метод Якоби)

СЛАУ необходимо предварительно преобразовать к виду , где – квадратная матрица с элементами ; – вектор-столбец с . Для приведения системы (1) к виду, удобному для итераций, исключим неизвестные из уравнений следующим образом:

(10)

На главной диагонали матрицы находятся нулевые элементы, а остальные - выражаются по формулам: , , .

Суть метода Якоби состоит в следующем. Выберем начальное приближение и, подставив его в правую часть системы (10), найдем первое приближение . Продолжая процесс далее, получим последовательность приближений, вычисляемых по формуле или в развернутом виде:

Метод простой итерации сходится при условии диагонального преобладания:

Метод Зейделя (метод Гаусса-Зейделя, процесс Либмана, метод последовательных замещений)

На k+1-й итерации компоненты приближения вычисляются по формулам:

Метод Якоби ориентирован на системы с матрицами, близкими к диагональным, а метод Зейделя – на системы с матрицами, близкими к нижним треугольным. Алгоритм метода Зейделя представлен на рис.4.3.

Рис.4.3 – алгоритм итерационного метода Гаусса-Зейделя

решения систем линейных алгебраических уравнений