Методы обращения матриц

Могут быть обращены только неособенные квадратные матрицы.

Метод окаймления (деления на клетки)

Исходную матрицу размера разобьем на четыре клетки , где – подматрицы размеров . Примем, что матрица существует и может быть разбита на клетки так же, как и матрица , т.е. , где – подматрицы размеров . Поскольку ,

то * = , или

Пусть подматрица имеет обратную , которая известна. Тогда после небольших преобразований получим формулы, которые могут быть последовательно решены относительно матриц :

(*)

Вычисление обратной матрицы реализуется с помощью метода окаймления. Суть его заключается в следующем. Пусть дана матрица

.

Образуем ; ; и т.д.

Каждая следующая матрица получена из предыдущей при помощи окаймления. Обратная к первой из этих матриц находится непосредственно: . Зная и применив к схему вычислений (*), можно получить , а затем при помощи аналогично получить и т.д. Процесс заканчивается матрицей , т.к. . Обращение можно начать и с правого нижнего угла матрицы .

Метод Ершова (метод пополнения)

На основе исходной матрицы и единичной матрицы строится последовательность матриц

; .

Матрица Матрицы являются вспомогательными.

Метод Фаддеева

Напомним, что следом (spur) матрицы называется сумма ее элементов на главной диагонали: , .

Вычисление обратной матрицы порядка производится по следующим формулам: