Лабораторна робота N 2

Тема: Знаходження iнтегралiв.

ЗАВДАННЯ:

Завдання 1. Використовуючи програму для побудови графіків, побудувати графiк залежностi швидкостi вiд часу при своїх параметрах. Знайти шлях, пройдений тiлом за t секунд, проiнтегрувавши функцiю v(t) за методом трапецій.

Завдання 2. Вивести графiк спектральної густини випромiнювання (по Планку), тобто значення енергiї випромiнюваної чорним тiлом з одиницi площi за одиницю часу F(x,T)= [де C=3*10⁸;H=6.6*10^-34;K=1.38*10^-23;p=3.14159; x -довжина хвилi; T-температура] при змiнi довжини хвилi вiд 0.38 до нескiнченності та температурах 1000 і 2000 К. Знайти випромiнену енергiю, як значення інтегралу методом трапецiй.

Перевiрити закон Стефана-Больцмана (загальна випроменена енергiя ~ T⁴).

Завдання 3. Побудувати графік світимості електричної лампочки в залежності від температури спіралі. Світимість F визначається як відношення енергії, яка випромінюється в видимому діапазоні 400-700 нм до повної енергії випромінювання лампочки. Виражена в процентах F визначається за допомогою інтегрування функції:

F(T,x)= 64.77 ,де Т -температура, х-довжина хвилі, помножена на 100%). Інтегрування провести за методом Сімпсона.

Завдання 4. Визначити значення інтегралу методом Монте- Карло для функції y = sin(x) на одному півперіоді. Результат звірити з аналітичним розв'язком.

Завдання 5. Отримати: 1) вираз для кутової швидкості матеріальної точки при рівноприскореному обертальному русі, вважаючи, що до початку відліку часу кутова швидкість матеріальної точки була w₀; 2) вираз для кутового переміщення матеріальної точки при рівноприскореному обертальному русі, вважаючи, що до початку відліку часу точка мала кутову швидкість w₀ і кутове зміщення її складало j₀.

Вказівка: При обертальному русі навколо нерухомої вісі кутова швидкість матеріальної точки , звідки , а кутове прискорення , звідки , а .

Аналітична відповідь: 1) ; 2) .

Завдання 6. Матеріальна точка, масою m, рухається вздовж вісі x. Результуюча всіх сил, що діють на матеріальну точку, описується законом ,де F₀,W- сталі додатні величини. Знайти закон зміни швидкості матеріальної точки, вважаючи, що в момент початку дії сил матеріальна точка знаходилась в стані спокою.

Вказівка: Згідно закону зміни імпульсу в проекції на вісь х: , звідки . Необхідно також врахувати, що , тобто .

Аналітична відповідь: .

Завдання 7: Однорідний диск масою m і радіусом r рівномірно обертається навколо нерухомої вісі, що співпадає з віссю Z і проходить через центр мас диска перпендикулярно до його площини. Кутова швидкість обертання диска w₀. В момент часу, що прийнятий за початок відліку, на диск починає діяти момент зовнішніх сил . Знайти закон зміни кутової швидкості обертання диска.

Вказівка: Згідно закону зміни моменту імпульсу , де L – момент імпульсу, M – результуючий момент всіх зовнішніх сил, що діють на тіло. , або .

Момент інерції диска , звідки .

Аналітична відповідь: .

Завдання 8: Однорідний обруч масою m і радіусом r починає обертатись відносно вісі, що співпадає з віссю Z і проходить через центр обруча перпендикулярно до його площини, під дією моменту сили, прикладеного до обруча, проекція якого на вісь обертання описується виразом M_Z =At+Bt². Знайти закон зміни лінійної швидкості точок обруча.

Вказівка: Момент інерції обруча , тобто .

Аналітична відповідь: .

Завдання 9: Електрорушійна сила індукції змінюється в замкнутому контурі за законом e_i=Acoswt. Знайти закон зміни в часі магнітного потоку, який пронизує контур. Вважаючи, що в момент часу t=0 магнітний потік Ф=0.

Вказівка: По закону електромагнітної індукції , звідки .

Аналітична відповідь: Ф .

Завдання 10: На математичну точку, що рухається прямолінійно вздовж вісі х в момент часу, що прийнято за початок відліку, почала діяти сила , де А, В- сталі величини. Знайти зміну імпульсу матеріальної точки за другу секунду з моменту початку дії сили.

Вказівка: Згідно закону зміни імпульсу, в проекції на вісь х: . Підставивши із умови задачі вираз для сили, маємо , звідки .

Аналітична відповідь: .

Завдання 11: На тіло, що обертається навколо нерухомої вісі в момент часу, який прийнято за початок відліку, почав діяти результуючий момент зовнішніх сил відносно вісі обертання кг м²/c, де C,D- сталі величини. Знайти зміну моменту імпульсу тіла відносно вісі обертання за проміжок часу від t₁ до t₂.

Згідно закону зміни моменту імпульсу L, . Напрямки L i M співпадають. і .

Аналітична відповідь: .

Завдання 12: Матеріальна точка під дією консервативної сили змістилася з точки з координатами (x₁, y₁, z₁) в точку з координатами (x₂, y₂, z₂). Значення сили F_x вздовж вісі x залежить від координати по закону , де В=2Н м, С=0,5Н. Знайти роботу, що виконується силою по переміщенню матеріальної точки, якщо х₁=2м, х₂=3м.

Вказівка: Робота змінної сили може бути знайдена по одній з формул: ; .

Аналітична відповідь: 1,31Дж.

Завдання 13: Знайти роботу, що виконується силами електростатичного поля, створеного рівномірно зарядженою нескінченно довгою ниткою, по переміщенню точкового заряду з відстані r₁ на відстань r₂ від центру зарядженої сфери.

Вказівка: F=qE, так як F÷÷ E, .

Аналітична відповідь: .

Завдання 14: Знайти роботу, що виконується силами електростатичного поля, яке створюється рівномірно зарядженою нескінченно довгою циліндричною поверхнею, попереміщенню точкового заряду з відстані r₁ на відстань r₂ від вісі циліндричної поверхні.

Вказівка: Див. завдання 13.

Аналітична відповідь: .

Завдання 15: Знайти величину сили, з якою однорідний довгий тонкий стержень масою М і довжиною l притягує матеріальну точку масою m, що знаходиться на вісі стержня на відстані b від одного з його кінців.

Вказівка: , де dM=rdx, r- лінійна густина стержня. Сила, з якою масу m притягує весь стержень: . Для однорідного стержня М=rl.

Аналітична відповідь: .

Завдання 16: Отримати вираз для роботи, що виконується ідеальним газом при розширенні від об’єму V₁ до V₂.

Аналітична відповідь: .

Завдання 17: Отримати вираз для роботи, що виконується при ізобарному процесі (р=const) розширення ідеального газу від об’єму V₁ до V₂.

Аналітична відповідь: .

Завдання 18: Отримати вираз для роботи, що виконується ідеальним газом при ізотермічному (Т=const) розширенні від об’єму V₁ до V₂.

Аналітична відповідь: .

Завдання 20: Електростатичне поле створюється у вакуумі рівномірно зарядженою з лінійною густиною заряду l=4*10^-9Кл/м нескінченно довгою ниткою, визначити різницю потенціалів двох точок поля, розташованих на відстанях r₁=0,01м і r₂=0,02м від зарядженої нитки.

Вказівка: Різниця потенціалів між двома точками знаходиться по формулі: , а напруженість електростатичного поля, створеного нескінченно довгою ниткою: .

Аналітична відповідь: .

Завдання 21: Циліндричний повітряний конденсатор з внутрішнім r₁ і зовнішнім r₂ радіусами, заряджений до різниці потенціалів Dj₀. Простір між обкладками заповнене слабкопровідним середовищем з питомим опором r. Визначити силу струму втрати, якщо довжина конденсатора рівна l.

Вказівка: різницю потенціалів між обкладками конденсатора можна вважати сталою. Силу струму визначаємо з закону Ома для однорідної ділянки кола: . Повний опір слабкопровідного середовища: , сила струму втрати: .

Аналітична відповідь: .