Явні методи типу Рунге-Кутта

Рунге запропонував ідею, засновану на знаходженні наближеного розв’язку рівняння

, (5.2)

що задовольняє початкову умову

, (5.3)

у вузлі x₀+h, у вигляді лінійної комбінації з постійними коефіцієнтами: , (5.4)

де

…

Числа a_i, b_ij i p_qi підбираються так, щоб розклад виразу (5.4) по степеням h співпав з розкладом (5.2) по формулі Тейлора (ряд Тейлора) до максимально можливого степеня при довільній правій частині f(x,y) і довільному кроці.

Це еквівалентно слідуючому. Якщо ввести допоміжну функцію , (5.5)

то її розклад по степеням h повинен починатися з максимально можливої степені: . (5.6)

Якщо можна визначити ці постійні так, щоб розклад j_q(h) мав вигляд (5.6), то говорять, що формула (5.4) з вибраними коефіцієнтами має порядок точності s.

Величина називається похибкою метода на кроці або локальною похибкою метода, а перший доданок в (5.6)

(5.7)

називається головним членом локальної похибки метода.

Доведено, що якщо q=1,2,3,4, то завжди можна вибрати коефіцієнти a_i, b_ij i p_qi так, щоб отримати метод типу Рунге-Кутта порядку точності q. При q=5 неможливо побудувати метод типу Рунге-Кутта (5.4) п’ятого порядку точності, необхідно брати в комбінації (5.4) більше п’яти членів.

Інглендом побудовані слідуючи формули четвертого і п’ятого порядків:

(5.8)

; (5.9)

; (5.10)

; (5.11)

; (5.12)

; (5.13)

; (5.14)

. (5.15)

Контрольний член: має порядок 0(h⁵).