Розв'язок диференціальних рівнянь I порядку методом Ейлера

Розглянемо задачу охолодження тіла, яка може бути сформульована слідуючим чином: при обході два єгері знайшли підстрелену тварину. В засаду попали два браконьєри, які стверджували, що не винні. Для повного доказу вини браконьєрів потрібно було точно знати час вбивства. Допоміг закон випромінювання тепла: . Швидкість охолодження тіла в повітрі пропорційна різниці температур тіла і повітря, де y- температура тіла, Z- температура повітря, k- коефіцієнт пропорційності.

Розв’язок зв’язаний з аналізом співвідношення, отриманого після інтегрування диференціального рівняння:

; y¹a.

Якщо відомо, що за годину температура тварини зменшується з 31⁰С до 21⁰С, а температура повітря стала і рівна 21⁰С, можливо визначити коефіцієнт пропорційності: .

Підставляючи тепер визначений коефіцієнт k та початкову температуру тіла 37⁰С, отримаємо: (2 год. 6 хв.). Як видно, залежність зміни температури з часом описується експоненціальним законом.

Якщо ж температура повітря змінюється з часом, закон охолодження тіла запишеться у вигляді лінійного неоднорідного звичайного диференціального рівняння: , яке вже не досить легко розв’язати аналітично.

Розглянемо чисельну схему Ейлера. Нехай потрібно розв'язати рівняння на проміжку з початковою умовою y(a) = y₀. Кінцево-різницевий метод полягає в тому, що розбиваємо проміжок [a,b] на N відрізків. Для розв'язку задачі необхідно, вийшовши з початкової точки, йти з кроком h = , знаходячи все новіші значення функції. При цьому, x(k)=a+kh, (k = 0,1...N), а сама ітераційна схема Ейлера приймає вигляд: y₀=y₀; y(k+1)=y(k)+hf(x(k),y(k)), k = 0,1...N-1, тобто розв'язок y(k+1) в наступній точці знаходиться як відрізок дотичної, проведеної в точці x(k) (Рис.5.1). Схема Ейлера виникає з розкладу Тейлора в околі точки x_k: при нехтуванні доданками з похідними старшими за першу.

Геометричний зміст метода Ейлера в апроксимації розв’язку на відрізку [x_k,x_k+1] відрізком дотичної, проведеної до графіка розв’язку в точці x_k (див. Рис.5.1).

Рис.5.1.

Даний підхід необхідно реалізувати для задачі про охолодження тіла до температури навколишнього середовища Z.

Завдання 1. Визначити час x, за який тіло охолодиться до температури 25^oС, якщо початкова температура тіла 38^oС, навколишнього середовища 10^oС, коефіцієнт пропорційності 0.2 (1/год). Затабулювати значення температури тіла на протязі перших 10 год.

Завдання 2. Ті самі параметри, тільки температура середовища рівномірно падає на 0.5 град/год.

Завдання 3. Температура середовища падає на 0.05 град/год на протязі перших 5 год. і росте на 4 град/год потім також рівномірно.

5.2. Методи Рунге-Кутта

Похідні апроксимуються через значення функції f(x,y) в точках на інтервалі [x₀, x₀+h], які вибираються з умови максимальної близькості алгоритму до ряду Тейлора.

В залежності від старшого степеня h, з якою враховуються члени ряду, побудовані обчислювальні схеми Рунге-Кутта різного порядку.

Наприклад, схема для другого порядку точності має вигляд:

(5.1)

Підвищення точності обрахунку досягається при використанні

багаточленних схем. Cхема Рунге-Кутта четвертого порядку точності полягає в дробленні переходу від x(k) до x(k+1) на чотири етапи. При цьому, y(k+1)=y(k)+ (k₁+2k₂+2k₃+k₄);

k₁=f(x(k), y(k));

k₂=f(x(k)+ , y(k)+ k₁);

k₃=f(x(k)+ , y(k)+ k₂);

k₄=f(x(k)+h, y(k)+k₃h).

.

Рис.5.2