Числовые характеристики выборки. Выборочное среднее – среднее арифметическое всех значений выборки, находится по формуле

Выборочное среднее – среднее арифметическое всех значений выборки, находится по формуле

.

Выборочная дисперсия вычисляется по формуле

.

Выборочное СКО вычисляется по формуле

.

Исправленная выборочная дисперсия вычисляется по формуле

.

Исправленное выборочное СКО вычисляется по формуле

.

Для группированной выборки формулы примут вид:

, , ,

где – средняя точка интервала группированного ряда.

Доверительным интервалом называют интервал , который покрывает неизвестный параметр а с заданной вероятностью g; здесь – оценка параметра а, концы и – доверительные границы (они оценивают возможную погрешность), число g – доверительная вероятность или надежность. Число характеризует точность оценки.

Доверительный интервал для математического ожидания при большом объеме выборки и неизвестном среднем квадратическом отклонении выражается формулой

,

где – функция, обратная функции Лапласа (приложение 1), т.е. такое значение аргумента в таблице функции Лапласа, для которого функция Лапласа равна g.

Замечание. Если использовать таблицу значений функции Лапласа , то точность оценки находится по формуле .

Проверка статистической гипотезы о нормальном законе распределения генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона

Постановка задачи. Относительно некоторой генеральной совокупности Х высказывается гипотеза Н (о возможных значениях числовых характеристик, о виде закона распределения…) которую называют статистической гипотезой. Из этой генеральной совокупности извлекается выборка . Требуется указать правило, при помощи которого можно было бы по каждой данной выборке решить вопрос о том, следует ли отклонить гипотезу Н или принять ее.

Нулевой гипотезой (основной) называют основную выдвигаемую гипотезу .

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , которая противоречит нулевой гипотезе .

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, которая рассчитывается по экспериментальной выборке, точное или приближенное распределение которой известно. Эту случайную величину К называют статистическим критерием.

Зная закон распределения К можно определить вероятность попадания К в любой интервал, т.е. для любых значений а и b.

Обозначим: .

Уровнем значимости a называют условное достаточно малое значение вероятности , соответствующее практически невозможному событию . При этом область называют критической областью.

Областью допустимых значений считают область , так как достаточно велика при малых a.

Итак: при выбранном значении a для данной гипотезы известна критическая область , в которую с вероятностью критерий К попасть не должен.

Если вычисленный по выборке критерий К оказался в критической области , говорят о несоответствии гипотезы фактическим данным, т.е. об отсутствии оснований принять гипотезу . Если критерий К оказался вне критической области , говорят о соответствии гипотезы фактическим данным, т.е об отсутствии оснований отвергать гипотезу .

При статистической проверке правильности выдвигаемой гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов: ошибка первого рода состоит в том, что гипотеза отвергнута, а она верна; ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза принята, а она не верна.

Критерием согласия называют критерий проверки статистической гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения СВ.