Пример 2. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

a₁=(-20, -15, -4); a₂=(-7, -2, -4); a₃ = (3, -1, -2)

Преобразуем систему линейных уравнений

a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃=0 методом Гаусса.

X3	X2	X3
-20	-7	3
-15	-2	-1
-4	-4	-2
-26	-13
-13
2		(-3) (1) 1
2		0
-13
-2		1
(-2) 1
		(-2) (2) 1

Общее решение системы имеет вид x₁=0; x₂=0;. x₃=0.

Эта система не имеет ненулевых решений, таким образом, вектор x, x₂, x₃ линейно независима.

Контрольные вопросы

1. Линейные операции над n-мерными векторами.

2. Скалярное произведение и длина n-мерных векторов.

3. Угол между n-мерными векторами.

4. Разложение вектора по системе векторов.

5. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.

6. Векторная форма системы линейных уравнений.

7. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.

8. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.

5. Требования к отчету

Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, подробное описание получения решений заданий, доказательств, распечатку результатов проверки, анализ полученных результатов.

Отчет выполняется на листах формата А4 или в отдельной тетради.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

1. Найти разложение вектора В по диагональной системе (упражнение 1).

2. Найти разложение вектора В по системе А1, А2, А3 (упражнение 2).

3. Найти разложение вектора В по векторам А1, А2, А3 (упражнение 3).

4. Разложить каждый вектор системы А1, А2, …, Аn по векторам этой системы.

5. Доказать, что если векторы В1 и В2 разлагаются по системе векторов А1, А2, …, Аn, то векторы В1+В2, k×B1, t1×B1+t2×B2 также разлагаются по системе векторов А1, А2, …, Аn (k, t1, t2 – константы).

6. Доказать, что ни один из векторов диагональной системы не разлагается по остальным векторам этой системы.

7. Вектор В разлагается по системе векторов А1, А2, …, Аm. Доказать, что каждый вектор системы В+А1, В+А2,…, В+Аm разлагается по системе А1, А2, …, Аm.

Упражнения 1, 2, 3 выполняются по вариантам, остальные – без вариантов. Таблица 1

№ варианта	Вектора А1, А2, А3, В
Упражнение 1	Упражнение 2	Упражнение 3
В	A1 A2 A3	B	A1 A2 A3	B
1.	-3	0 0 1 1 0 1 0 1 1		-1 -1 0 2 2 2 8 2 1 2 1 2
2.	-2	1 0 1 0 1 0 1 1 0	-2	-3 -1 5 5 2 3 5 2 1 2 1 2	-5
3.	-3	1 -1 1 0 2 0 -2 2 0		-2 -2 -2 0 2 3 0 2 1 2 1 2	-3
4.	-5 -1	1 -1 1 0 1 0 -2 1 0		-1 0 -4 3 2 3 0 2 1 2 1 2	-2

Окончание таблицы 1

№ варианта	Вектора А1, А2, А3, В
Упражнение 1	Упражнение 2	Упражнение 3
В	A1 A2 A3	B	A1 A2 A3	B
5.	-5	1 0 1 1 1 1 0 1 1	-2	-1 0 0 1 2 5 1 2 1 2 1 2
6.	-10	1 0 1 0 0 1 0 1 0	-8	-1 0 0 1 2 3 0 2 1 2 1 2
7.	-12	1 0 1 1 1 2 0 1 0		-1 -1 -2 0 2 3 0 2 1 2 1 2	-3
8.	-10	1 0 1 0 0 1 0 1 0	-8	-1 0 0 1 2 3 0 2 1 2 1 2
9.	-3	1 0 1 1 2 2 1 2 0		4 2 0 0 2 3 0 0 1 3 0 0
10.	-1	1 0 1 1 1 3 0 1 3	-1	-1 0 0 0 0 2 2 0 2 2 1 0 3 1 2 1
11.	-3 -4	2 0 1 1 4 2 0 5 0		-1 0 -2 0 2 3 0 2 2 2 1 2	-3
12.	-2 -5 -1	5 0 1 1 4 3 0 5 1		1 4 4 0 1 3 2 1 4 0 1 0	-1
13.	-6 -1	3 0 1 2 1 1 0 1 0	-1	-2 1 -2 0 1 2 0 2 3 2 2 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

1. Выяснить, является ли данная система векторов А1, А2, А3 линейно зависимой или линейно независимой:

a) А1, А2, А3 (упражнение 1a);

b) А1, А2, А3, А4 (упражнение 1b);

c) А1, А2, А3, А4 (упражнение 1c).

2. Доказать, что четыре вектора А1=(1,0,0), А2=(0,1,0), А3=(0,0,1), А4=(1,1,1) образуют линейно зависимую систему, но любые три из них линейно независимы.

3. Установить, что система векторов линейно зависима, если она содержит:

a) два равных вектора;

b) два пропорциональных вектора.

4. Дана линейно независимая система векторов А,В,С. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми:

a) А+В, В+С, С+А;

b) А+В, С-В, С+А.

5. Доказать, что два ненулевых n-мерных вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.

Упражнения 1a, 1b, 1c выполняются по вариантам, остальные – без вариантов.

Таблица 2

№ варианта	Вектора
Упражнение 1а	Упражнение 1b	Упражнение 1с
A1 A2 A3	A1 A2 A3	А4	A1 A2 A3	А4
1.	0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1	1 0 1 0 1 0 1 1 0 -2 2 0		-1 -1 0 2 2 2 8 2 1 2 1 2 1 1 1
2.	1 0 1 0 1 0 1 1 0 -2 2 0	0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1	-5	-3 -1 5 5 2 3 1 1 1 5 2 1 2 1 2	-5

Продолжение таблицы 2

3.	1 -1 1 0 2 0 -2 2 0 -2 2 0	0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1	-3	-2 -2 -2 1 1 1 0 2 3 0 2 1 2 1 2	-3
4.	1 -1 1 0 1 0 -2 1 0 1 4 2	1 0 1 0 0 1 0 1 3 0 1 0	-2	-1 0 -4 3 2 3 0 2 0 0 2 1 2 1 2	-2
5.	1 0 1 1 1 1 1 4 2 0 1 1	1 -1 1 0 1 0 -2 1 0 1 4 2		-1 0 0 1 2 5 0 2 0 1 2 1 2 1 2	-2
6.	1 0 1 0 0 1 0 1 3 0 1 0	1 0 1 1 1 1 1 4 2 0 1 1		-1 0 0 1 2 3 0 2 1 1 4 2 2 1 2
7.	0 1 3 1 0 1 1 1 2 0 1 0	1 0 1 1 2 2 0 2 0 1 2 0	-3	-1 -1 -2 1 4 2 0 2 3 0 2 1 2 1 2	-3
8.	1 0 1 0 2 0 7 0 1 0 1 0	0 1 3 1 0 1 1 1 2 0 1 0		-1 0 0 1 1 2 1 2 3 0 2 1 2 1 2
9.	1 0 1 1 2 2 0 2 0 1 2 0	1 0 1 0 2 0 7 0 1 0 1 0		4 2 0 1 1 2 0 2 3 0 0 1 3 0 0	-3
10.	1 0 1 0 2 0 1 1 3 0 1 3	2 0 1 1 4 2 0 5 0 0 2 0		1 1 -2 0 2 1 0 5 0 0 1 0 2 1 1

Окончание таблицы 2

11.	2 0 1 1 4 2 0 5 0 0 2 0	1 0 1 0 2 0 1 1 3 0 1 3	-3	-1 0 -2 0 5 0 0 2 3 0 2 2 2 1 2	-3
12.	5 0 1 1 4 2 1 4 3 0 5 1	3 0 1 2 1 1 0 1 0 1 4 2	-1	1 4 4 0 1 3 1 4 3 2 1 4 0 1 0	-1
13.	3 0 1 2 1 1 0 1 0 1 4 2	5 0 1 1 4 2 1 4 3 0 5 1		1 4 3 -2 1 -2 0 1 2 0 2 3 2 2 1