Векторная формула системы линейных уравнений

Используя введенные операции над векторами, запишем систему линейных уравнений:

в векторной форме.

Обозначим столбцы коэффициентов при неизвестных

, , ; .

Тогда систему (1) можно представить в виде:

(2)

Уравнение (2) называется векторной формой системы линейных уравнений (1). Последовательность чисел называют решением системы (2), если - верное векторное равенство.

Пусть n-мерный вектор () является решением системы (3). Тогда ясно, что для разложения вектора по системе достаточно найти решение системы линейных уравнений (2).

Пример: дана система векторов и вектор

; ; ; ; .

Выяснить разлагается ли вектор по системе векторов .

Для этого необходимо решить систему уравнений

.

Имеем:

Общее решение системы имеет вид:

Главные неизвестные и , так как получена система 2 уравнений (остальные линейно зависимы).

Общее решение:

Достаточно положить свободные неизвестные и произвольные значения и получить разложение вектора по системе векторов .

Например:

, тогда , .

Следовательно:

.

Если же , тогда

и .