Скалярное произведение и длина n-мерных векторов

Как известно из геометрии, если векторы а и b заданы своими координатами и , то их скалярное произведение a×b определяется по формуле:

.

По аналогии скалярным произведением n -мерных векторов и называется число .

Некоторые свойства произведения чисел справедливы и для скалярного произведения векторов:

1)

2) , где k – число.

3)

4) причем тогда и только тогда, когда (нулевой вектор).

Длиной n-мерного вектора a называется число . Длина вектора a обозначается .

Из 4 свойства скалярного произведения векторов вытекает, что каждый n-мерный вектор a обладает длиной, причем нулевой вектор O, является единственным вектором, длина которого равна нулю.

Если а и b – n -мерные векторы, то справедливы следующие числовые соотношения:

1) , k – число;

2) (неравенство Коши-Буняковского);

3) (неравенство треугольника).

Вектор называется нормированным, если его длина равна 1.

Каждый вектор a можно нормировать, т.е. умножить на число k, чтобы вектор k×a был нормированным.

, .