Коллинеарные вектора

Два ненулевых n -мерных вектора называются коллинеарными, если угол между ними равен 0 или p.

Если , то коллинеарные вектора считаются одинаково направленными, если же , то коллинеарные вектора противоположно направлены. Символичная запись означает, что векторы а и b одинаково (противоположно) направлены.

Ненулевые векторы a и b называются неколлинеарными, если угол между ними >0 и <p.

Ненулевые векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда можно подобрать такое k (число), что .

Разложение вектора по системе векторов

Пусть дана система n -мерных векторов выбираем n – произвольных чисел . Заметим, что чисел ровно столько, сколько векторов в системе.

Вектор называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами .

Пусть теперь наряду с векторами дан еще -мерный вектор . Будем говорить, что вектор линейно выражается через векторы , если он равен некоторой линейной комбинации векторов, т.е. найдется такой набор чисел , что

. (5)

В этом случае будем говорить также, что вектор разлагается по векторам . Числа называются коэффициентами разложения вектора по системе .

Разложение считается отличным от разложения (5), если различна хотя бы одна пара соответствующих коэффициентов разложения (т.е. хотя бы один ).

Справедливы следующие утверждения:

1. Нулевой вектор разлагается по каждой системе векторов

.

2. Если вектор разлагается по части системы векторов , то он разлагается и по всей системе векторов.

Предположим, что часть системы векторов можно представить

, где

тогда

.

3. Каждый - мерный вектор разлагается по диагональной системе - мерных векторов:

с коэффициентами, которые равны координатам вектора .

В самом деле

.

4. Если вектор разлагается по системе векторов , а каждый вектор этой системы разлагается по системе векторов , то вектор разлагается по системе векторов .

Из условия следует, что

После подстановки получаем:

Т.е. вектор разлагается по векторам .