Краткие теоретические сведения. В геометрии вектором называется направленный отрезок

В геометрии вектором называется направленный отрезок. В фиксированной системе координат каждый вектор a однозначно определяется своими координатами:

, (1)

где называются координатами вектора a.

Если какой-либо другой вектор, то

, (2)

, (3)

где k – число.

Сложение векторов и умножение вектора на число называется линейными операциями над векторами.

Обобщим понятие вектора следующим образом: назовем последовательность n чисел n -мерным вектором и представим его в виде (1). Число a₁ называется первой координатой вектора a; a₂ – второй координатой и т.д., а число n (количество координат) называется размерностью вектора а.

Два n -мерных вектора:

,

,

считаются равными только тогда, когда равны их соответствующие координаты

, ,…, .

Очевидно, что для любого вектора а: , где . Вектор O называется нулевым.

Вектор (-1)× a называется противоположным вектору a и обозначается - a, т.е. . Ясно, что , вместо .

Так как операции над n-мерными векторами определяются через операции над их координатами, свойства арифметических операций справедливы и для операций над векторами.

1) (сложение коммутативно);

2) (сложение ассоциативно);

3) (сложение дистрибутивно);

4) (сложение дистрибутивно);

5) ,

где – некоторые вещественные числа.