Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов

1. Непосредственно из определений видно, что каждая система векторов либо линейно зависима, либо линейно независима.

2. Если часть системы векторов a₁, a₂, …, a_n линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Допустим, что часть, состоящая из векторов a₁, a₂,…, a_p линейно зависима, т. е. k₁a₁+k₂a₂+…k_pa_p=0 и k₁k₂…, k_p ненулевой набор чисел. Тогда соотношение

k₁a₁+k₂a₂+…+ k_pa_p+ a_p+1+ a_p+2+…+ a_n=0

выполняется с не нулевым набором чисел. k₁, k₂…k_p, 0, 0 - что и означает линейную зависимость системы a₁,…,a_n.

3.Если система векторов a₁, …, a_n линейно независима, то и любая ее часть линейно независима.

Докажем это свойство от противного.

Предположим, что часть системы линейно зависима. Тогда из свойства (2) следует, что и вся система линейно зависима, однако это противоречит условию. Следовательно, любая часть данной системы линейно не зависима.

4. Если система векторов a₁, a₂,…, a_n линейно зависима, то хотя бы один из векторов этой системы разлагается по остальным ее векторам.

5. Если система векторов a₁, a₂,…, a _n линейно зависима, а ее часть линейно не зависима a₁ …, a_n-1, то вектор a_n разлагается по векторам a ₁, a ₂ ,…, a_n-1.