Функціональна залежність. Огляд основних елементарних функцій

В курсі вищої математики розглядають досить важливі властивості функцій, які складно досліджувати елементарними способами. У основі методів, за допомогою яких доцільно досліджувати ці нові властивості, лежить поняття границі функції, одне з фундаментальних понять сучасної математики.

Функцією називають відповідність, за якою кожному елементу x з множини D відповідає деякий єдиний елемент з множини E.

Незалежну змінну x називають аргументом, а величину у – функцією. Множину D називають областю визначення функції і позначають . Множину E називають областю значень функції і позначають . Якщо і – числові множини, то функцію називають числовою.

Функцію називають парною, якщо для будь-яких значень х з області визначення D виконується рівність , причому . Функцію називають непарною, якщо для будь-яких значень х з області визначення D виконується рівність , причому .

У інших випадках функцію називають функцією загального вигляду. Графік парної функції є симетричним відносно осі ординат, графік непарної функції є симетричним відносно початку координат.

Функцію називають зростаючою на деякому проміжку Х, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції, тобто якщо і , то . Функцію називають спадаючою на деякому проміжку Х, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції, тобто якщо і , то . Зростаючі і спадаючі функції називають монотонними.

Функцію називають періодичною з періодом Т, якщо для будь-якого значення х, при якому вона визначена, тобто при , виконується рівність , причому .

Нехай , , тоді функцію називають складною, а u називають проміжним аргументом.

Основними елементарнимифункціями є:

Степенева функція .

Для будь-якого а область визначення функції містить додатну піввісь . Точка включається в область визначення при і виключається при . Від’ємна піввісь міститься в області визначення в окремих випадках (наприклад, при ; ).

Показникова функція (, ).

Область визначення функції .

Логарифмічна функція (, ).

Область визначення функції .

Тригонометричні функції , .

Функції , мають область визначення .

Обернені тригонометричні функції , , , .

Областю визначення функцій , є , а областю визначення функцій , є

Функцію називають елементарною, якщо права частина аналітичного виразу складена з основних елементарних функцій за допомогою застосування скінченого числа арифметичних дій і узяття функції від функції.