Границя послідовності та її властивості

Першу спробу створити теорію границь зробив Ньютон у 1686 р., хоча операція граничного переходу застосовувалася і раніше, починаючи із старогрецьких учених. Близьке до сучасного поняття границі сформулював у 1765 р. французький математик і філософ Ж. Даламбер.

Якщо кожному натуральному числу поставлене у відповідність деяке дійсне число х_n, то говорять, що задано послідовність чисел х ₁, х ₂, …, х_n, … Інші позначення: { х_n }, х_n.

Числовою послідовністю , (n = 1, 2,...) називають множину значень функції , яку визначено на множині натуральних чисел. Числа х 1, х 2,… називають членами (елементами) послідовності, – загальним членом послідовності, n – номером члена послідовності.

Наприклад, розглянемо послідовність . Загальний член її ‑ . Перші п’ять членів такі: х ₁= 1, х ₂ = , х ₃ = , х ₄ = , х ₅ = .

Наприклад, членами послідовності є числа

Прикладом послідовності є нескінченно спадаюча геометрична прогресія , де .

Число а називають границею послідовності { хn }, якщо для будь-якого наперед заданого (навіть скільки завгодно малого) числа знайдеться такий номер , що для всіх буде виконуватися нерівність . (3.1)

Для позначення границі послідовності { х_n } використовується запис: = а, або при .

Інтервал виду , де , називають e-окілом точки а.

Геометрична інтерпретація границі послідовності. Якщо а – границя послідовності { х_n }, то для будь-якого (навіть скільки завгодно малого) можна знайти такий номер , що при всі члени послідовності попадуть в e -окіл точки а. Інакше кажучи, для будь-якого околу з центром в точці а, навіть скільки завгодно малого радіусу e, знайдеться таке значення х_n, що точки, що зображають ці значення, і всі подальші значення послідовності { х_n }, потраплять в цей окіл (рис.3.1). Таким чином, зовні e -околу точки а може лежати лише скінчене число членів послідовності { х_n }.

Рисунок 3.1 – Геометрична інтерпретація границі послідовності

Послідовність називають збіжною, якщо вона має границю, якщо послідовність границі не має, то вона називається розбіжною.

Послідовність може прямувати до своєї границі різними способами:

залишаючись менше своєї границі;

залишаючись більше своєї границі;

коливаючись біля своєї границі.

Числову послідовність називають зростаючою, якщо кожен наступний член послідовності більше попереднього, тобто .

Приклади зростаючих послідовностей: , .

Числову послідовність називають спадаючою, якщо кожен наступний член послідовності менше попереднього, тобто .

Приклади спадаючих послідовностей: , .

Монотонними послідовностями називають зростаючі і спадаючі послідовності.

Послідовність називають обмеженою, якщо існує число таке, що для всіх значень n = 1,2,... виконується нерівність .

Приклади обмежених послідовностей: , , ; необмежених послідовностей: , , .