Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Границя послідовності та її властивості



Першу спробу створити теорію границь зробив Ньютон у 1686 р., хоча операція граничного переходу застосовувалася і раніше, починаючи із старогрецьких учених. Близьке до сучасного поняття границі сформулював у 1765 р. французький математик і філософ Ж. Даламбер.

Якщо кожному натуральному числу поставлене у відповідність деяке дійсне число хn, то говорять, що задано послідовність чисел х 1, х 2, …, хn, … Інші позначення: { хn }, хn.

  Числовою послідовністю , (n = 1, 2,...) називають множину значень функції , яку визначено на множині натуральних чисел. Числа х 1, х 2,… називають членами (елементами) послідовності, загальним членом послідовності, n – номером члена послідовності.

Наприклад, розглянемо послідовність . Загальний член її ‑ . Перші п’ять членів такі: х 1= 1, х 2 = , х 3 = , х 4 = , х 5 = .

Наприклад, членами послідовності є числа

Прикладом послідовності є нескінченно спадаюча геометрична прогресія , де .

  Число а називають границею послідовності { хn }, якщо для будь-якого наперед заданого (навіть скільки завгодно малого) числа знайдеться такий номер , що для всіх буде виконуватися нерівність . (3.1)

Для позначення границі послідовності { хn } використовується запис: = а, або при .

Інтервал виду , де , називають e-окілом точки а.

Геометрична інтерпретація границі послідовності. Якщо а – границя послідовності { хn }, то для будь-якого (навіть скільки завгодно малого) можна знайти такий номер , що при всі члени послідовності попадуть в e -окіл точки а. Інакше кажучи, для будь-якого околу з центром в точці а, навіть скільки завгодно малого радіусу e, знайдеться таке значення хn, що точки, що зображають ці значення, і всі подальші значення послідовності { хn }, потраплять в цей окіл (рис.3.1). Таким чином, зовні e -околу точки а може лежати лише скінчене число членів послідовності { хn }.

Рисунок 3.1 – Геометрична інтерпретація границі послідовності

  Послідовність називають збіжною, якщо вона має границю, якщо послідовність границі не має, то вона називається розбіжною.

Послідовність може прямувати до своєї границі різними способами:

залишаючись менше своєї границі;

залишаючись більше своєї границі;

коливаючись біля своєї границі.

  Числову послідовність називають зростаючою, якщо кожен наступний член послідовності більше попереднього, тобто .

Приклади зростаючих послідовностей: , .

  Числову послідовність називають спадаючою, якщо кожен наступний член послідовності менше попереднього, тобто .

Приклади спадаючих послідовностей: , .

  Монотонними послідовностями називають зростаючі і спадаючі послідовності.
  Послідовність називають обмеженою, якщо існує число таке, що для всіх значень n = 1,2,... виконується нерівність .

Приклади обмежених послідовностей: , , ; необмежених послідовностей: , , .





Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 1005 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.01 с)...