Основні властивості множення матриць

1)	;
2)	, ;
3)	, ;
4)	;
5)	;
6)	;
7)	.

Приклад 1.1.

Перевірити узгодженість і знайти добуток матриць і , якщо , .

Розв’язання. Розмірності матриць-множників: ‑ , ‑ . Вони визначають виконання умови узгодженості матриці з матрицею . Тобто добуток існує і має розмірність . Проведемо обчислення добутку матриць і :

Зауважимо, що у даному випадку не існує, бо матриця не є узгодженою з матрицею .

Приклад 1.2.

Знайти добутки та матриці-рядка і матриці-стовпця .

Розв’язання. Очевидно, що матриця узгоджена з матрицею , і навпаки матриця є узгодженою з матрицею .

;

.

Отже, у першому випадку добуток є матрицею розмірності , а у другому - це матриця порядку , тобто скалярна величина.

Зауваження.

Добуток двох ненульових матриць може дорівнювати нульовій матриці, тобто з того, що , не випливає, що , або .

Наприклад, , , але .

Для знаходження цілого додатного степеня квадратної матриці слід знайти добуток матриць : .

Наприклад, для обчислення , де потрібно знайти добуток .

Зауваження.

Операція піднесення до степеня визначається тільки для квадратних матриць.

4.	Транспонування матриці

Щоб транспонувати матрицю , треба поміняти місцями її рядки зі стовпцями. Транспоновану матрицю позначають символом . Якщо вихідна матриця має розмірність , то розмірність транспонованої матриці буде .