Задание 2. Дана кривая второго порядка

Дана кривая второго порядка. Найти ее вершины, фокусы, эксцентриситет. Для гиперболы составить уравнение асимптот. Построить кривую второго порядка.

Решение.

a) Дана кривая второго порядка:

3x² + 4y² = 12

Это уравнение эллипса. Преобразуем его к каноническому виду

.

Разделим обе части уравнения на 12.

. Каноническое уравнение имеет вид:

Большая полуось эллипса а = 2, а малая полуось .

Следовательно, координаты его вершин:

А₁(-2; 0), А₂(2; 0), В₁(0; ), В₂(0; ).

Координаты фокусов: F₁(-с; 0); F₂(с; 0)

Найдем с по формуле: ;

Координаты фокусов F₁(-1; 0); F₂(1; 0).

Эксцентриситет эллипса:

б) Дана кривая второго порядка:

9x² - 16y² = 144.

Это уравнение гиперболы. Преобразуем его к каноническому виду:

.

Разделим обе части уравнения на 144.

.

Полуоси данной гиперболы: действительная а = 4, мнимая b = 3. Следовательно, ее вершины А₁(-4;0), А₂(4;0), В₁(0;-3), В₂(0;3).

Прямоугольник с центром в начале координат, сторонами, параллельными координатным осям и проходящими через вершины гиперболы, называется основным прямоугольником гиперболы. Его диагонали являются асимптотами гиперболы.

Асимптоты: .

Координаты фокусов: F₁(-с; 0); F₂(с; 0).

Найдем с по формуле: ; , следовательно F₁(-5;0); F₂(5;0).

Эксцентриситет гиперболы