Внутренняя геометрия поверхности

Определение. Пусть даны поверхности - . Предположим, что задано непрерывное биективное отображение одной из них в другую. Такое отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками обеих поверхностей. При этом соответствии каждой кривой С на поверхности отвечает некоторая кривая на поверхности , и наоборот:

Если при этом длина каждой кривой С равна длине соответствующей кривой , то говорят, что получается из при помощи изгибания, а само отображение называется изгибанием или изометрией.

Внутренняя геометрия поверхности изучает те свойства поверхностей и фигур на них, которые не меняются при изгибаниях. С этой точки зрения вся планиметрия представляет собой внутреннюю геометрию плоскости.

Пусть поверхности параметризуются функциями , заданными в одной и той е области , и пусть отображение ставит в соответствие точке Р на поверхности точку поверхности , имеющую такие же внутренние координаты . Если при этом в соответствующих точках будут совпадать коэффициенты первой и второй квадратичной формы поверхностей : ,

то, как это следует из формулы длины кривой на поверхности, отображение будет изгибанием.

Таким образом, можно сказать, что к внутренней геометрии относятся свойства и величины, которые могут быть охарактеризованы или вычислены в терминах первой квадратичной формы поверхности. Помимо длин кривых, это углы между кривыми и площади фигур на поверхности.