Образец выполнения контрольной работы

Контрольная работа «Прямая и плоскость в пространстве»

Задание 1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄.

, , , .

Найти:

а) длину ребра [А₁А₂ ];

б) угол между ребрами [А₁А₂ ] и [А₁ А₄];

в) проекцию вектора на ;

г) площадь грани А₁ А₂ А₃ ;

д) объем пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄

Решение.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁ (3;2-3) А₂ (5;1;-1) А₃ (-1;2; -1) А₄ (1;-2;1).

Найдём координаты , ,

векторов ; ; .

_.

Получим:

,

,

.

а) Длина ребра [А₁ А₂] пирамиды равна длине вектора . Длина вектора определяется по формуле:

, следовательно:

б) Угол между рёбрами [А₁А₂] и [А₁ А₃] пирамиды равен углу между векторами и . Косинус угла между векторами определяется по формуле:

,

следовательно,

.

.

в) Проекция вектора направление вектора определяется

по формуле: , следовательно,

.

.

г) Определим площадь грани (А₁А₂А₃) по формуле для вычисления площади треугольника с помощью модуля векторного произведения векторов и :

, где .

.

.

(ед²).

д) Объем пирамиды, построенной на векторах , , определяем с помощью смешанного произведения векторов по формуле:

.

V = .

(куб.ед).