 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Гауссова кривизна и средняя кривизна
|
|
Произведение главных кривизн 
обозначается через К и называется гауссовой кривизной поверхности в точке Р: 
.
Тип точки на поверхности полностью определяется гауссовой кривизной в этой точке:
если 
, то Р – точка эллиптического типа;
если 
, то Р – точка гиперболического типа;
если 
, то Р – точка параболического типа.
Полусумма главных кривизн обозначается через 
и называется средней кривизной поверхности в точке Р:
.
(Из формулы Эйлера следует, что число равняется нормальной кривизне в направлении биссектрисы угла, образованного главными направлениями).
Главные кривизны в точке Р полностью определяются гауссовой кривизной и средней кривизной: по теореме Виете являются корнями уравнения 
. Заметим еще, что Р является точкой округления тогда и только тогда, когда 
, а точкой уплощения – тогда и только тогда, когда 
.
Гауссова и средняя кривизны можно выразить через коэффициенты первой и второй квадратичной формы
2.7.Площадь поверхности.
Дадим определение площади гладкой поверхности, исходя из того, что определение площади нам известно для замкнутых плоских областей, ограниченных конечным числом гладких кривых.
Пусть 
- гладкая поверхность, заданная уравнением 
, где 
. Возьмем в области 
некоторую замкнутую область 
, ограниченную конечную конечным числом гладких кривых. Чтобы определить площадь ее образа – области 
-поступим так. Разделим область на достаточно маленькие (по диаметру) замкнутые области 
при помощи кусочно гладких кривых. Cоответственно и область 
на поверхности разобьется на области 
, ограниченные кусочно гладкими кривыми. В каждой области выберем произвольную точку 
. В ней проведем касательную плоскость 
и область спроектируем на эту плоскость. Если размеры областей достаточно малы, то при этом область взаимно однозначно отобразится на некоторую плоскую область 
, площадь которой нам известна. Если при неограниченном уменьшении (по диаметру) областей сумма площадей областей будет стремится к некоторому пределу, то этот предел называется площадью области :
.
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 407 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
