Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Гауссова кривизна и средняя кривизна



Произведение главных кривизн обозначается через К и называется гауссовой кривизной поверхности в точке Р: .

Тип точки на поверхности полностью определяется гауссовой кривизной в этой точке:

если , то Р – точка эллиптического типа;

если , то Р – точка гиперболического типа;

если , то Р – точка параболического типа.

Полусумма главных кривизн обозначается через и называется средней кривизной поверхности в точке Р:

.

(Из формулы Эйлера следует, что число равняется нормальной кривизне в направлении биссектрисы угла, образованного главными направлениями).

Главные кривизны в точке Р полностью определяются гауссовой кривизной и средней кривизной: по теореме Виете являются корнями уравнения . Заметим еще, что Р является точкой округления тогда и только тогда, когда , а точкой уплощения – тогда и только тогда, когда .

Гауссова и средняя кривизны можно выразить через коэффициенты первой и второй квадратичной формы

2.7.Площадь поверхности.

Дадим определение площади гладкой поверхности, исходя из того, что определение площади нам известно для замкнутых плоских областей, ограниченных конечным числом гладких кривых.

Пусть - гладкая поверхность, заданная уравнением , где . Возьмем в области некоторую замкнутую область , ограниченную конечную конечным числом гладких кривых. Чтобы определить площадь ее образа – области -поступим так. Разделим область на достаточно маленькие (по диаметру) замкнутые области при помощи кусочно гладких кривых. Cоответственно и область на поверхности разобьется на области , ограниченные кусочно гладкими кривыми. В каждой области выберем произвольную точку . В ней проведем касательную плоскость и область спроектируем на эту плоскость. Если размеры областей достаточно малы, то при этом область взаимно однозначно отобразится на некоторую плоскую область , площадь которой нам известна. Если при неограниченном уменьшении (по диаметру) областей сумма площадей областей будет стремится к некоторому пределу, то этот предел называется площадью области :

.





Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 388 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с)...