![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Произведение главных кривизн обозначается через К и называется гауссовой кривизной поверхности в точке Р:
.
Тип точки на поверхности полностью определяется гауссовой кривизной в этой точке:
если , то Р – точка эллиптического типа;
если , то Р – точка гиперболического типа;
если , то Р – точка параболического типа.
Полусумма главных кривизн обозначается через и называется средней кривизной поверхности в точке Р:
.
(Из формулы Эйлера следует, что число равняется нормальной кривизне в направлении биссектрисы угла, образованного главными направлениями).
Главные кривизны в точке Р полностью определяются гауссовой кривизной и средней кривизной: по теореме Виете являются корнями уравнения
. Заметим еще, что Р является точкой округления тогда и только тогда, когда
, а точкой уплощения – тогда и только тогда, когда
.
Гауссова и средняя кривизны можно выразить через коэффициенты первой и второй квадратичной формы
2.7.Площадь поверхности.
Дадим определение площади гладкой поверхности, исходя из того, что определение площади нам известно для замкнутых плоских областей, ограниченных конечным числом гладких кривых.
Пусть - гладкая поверхность, заданная уравнением
, где
. Возьмем в области
некоторую замкнутую область
, ограниченную конечную конечным числом гладких кривых. Чтобы определить площадь ее образа – области
-поступим так. Разделим область
на достаточно маленькие (по диаметру) замкнутые области
при помощи кусочно гладких кривых. Cоответственно и область
на поверхности разобьется на области
, ограниченные кусочно гладкими кривыми. В каждой области
выберем произвольную точку
. В ней проведем касательную плоскость
и область
спроектируем на эту плоскость. Если размеры областей
достаточно малы, то при этом область
взаимно однозначно отобразится на некоторую плоскую область
, площадь которой нам известна. Если при неограниченном уменьшении (по диаметру) областей
сумма площадей областей
будет стремится к некоторому пределу, то этот предел называется площадью области
:
.
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 408 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!