Элементарные кривые на плоскости и в пространстве. Способы их задания;

Дадим определение элементарной кривой. Множество С (на плоскости или в пространстве) называется элементарной кривой, если оно является образом отрезка при некотором непрерывном взаимно однозначном отображении этого отрезка в плоскость или в пространство.

Примеры. Простейшие элементарные кривые – это отрезки прямых, дуги окружностей, эллипсов, графики непрерывных функций, заданных на отрезке и т. п. Простые конечнозвенные ломаные тоже будут элементарными в нашем определении.

Если элементарная кривая С есть образ отрезка при взаимно однозначном и непрерывном отображении , то положение любой точки Р на кривой С определяется одним-единственным числом образом которого эта точка является: P = F(t). Разным значениям параметра соответствуют различные точки кривой С. Отображение F будем называть параметризацией кривой С. Кривую, снабженную параметризацией, будем называть параметризированной кривой.

Фиксируем систему координат. Пусть точка P = F(t) имеет координаты x, y, z. При изменении параметра t они тоже будут меняться – каждая координата является функцией от t:

где - непрерывные числовые функции, заданные на отрезке .

Параметризация F называется регулярной, если, во-первых, функции гладкие и, во-вторых, при каждом значении параметра производная, по крайней мере, одной из этих функций не обращается в нуль.

Часто удобен бескоординатный способ задания кривой, когда для параметризации используют вектор-функцию. Коротко изложим связанные с ними понятия и формулировки.