Подынтегральная функция с бесконечными значениями

Разобьем отрезок интегрирования на подотрезки так, чтобы особые точки находились только на концах подотрезка.

1. Аддитивное выделение особенности.

Подынтегральная функция разбивается на сумму , где – ограниченная функция, а – функция, интегрируемая аналитическими методами.

Пример 12.31. Пусть , а интегрирование производится от точки . Тогда основная особенность имеет вид . Положим:

.

Функция – ограничена, что и требовалось.

2. Мультипликативное выделение особенности.

Представим подынтегральную функцию в виде произведения , где – ограничена, а – положительна и интегрируема на отрезке . Тогда можно рассматривать как весовую функцию и использовать квадратурную формулу Гаусса.

Пример 12.32. Вычислим интеграл

.

Выделим весовую функцию . Такой весовой функции соответствуют многочлены Чебышева. Квадратурная формула имеет вид:

, где .

Задачи

1. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

2. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

3. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

4. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

5. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

6. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

7. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

8. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

9. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

10. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

11. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

12. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

13. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

14. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

15. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

16. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

17. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

18. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

19. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

20. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

21. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

.

22. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

Ответы

Обозначения: – весовая функция,

– узлы и коэффициенты формулы Гаусса,

H – значение интеграла, вычисленное по формуле Гаусса.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .