Интегралы с бесконечными пределами

1. Введение такой замены переменных, которая превращает пределы интегрирования в конечные.

Пример 12.29. Интеграл в результате замены переменной преобразуется в интеграл .

2. Метод усечения.

При вычислении интеграла выберем такое значение , чтобы абсолютная величина интеграла была меньше допустимой погрешности. Тогда исходный интеграл можно заменить интегралом в конечных пределах , который вычисляется обычным образом. При этом для сокращения объема вычислений целесообразно использовать неравномерную сетку, шаг которой растет по мере приближения к точке .

3. Использование формулы Гаусса.

Из подынтегральной функции выделяем положительный множитель – весовую функцию, описывающую характер затухания подынтегральной функции при .

Пример 12.30.. Вычислим интегральную экспоненту:

.

Сдвинем нижний предел интегрирования:

.

Выберем весовую функцию , тогда . По формуле Гаусса .

Данной весовой функции соответствуют многочлены Лагерра:

.

.

Если взять один узел, получим . Эта формула пригодна только при больших значениях аргумента .

Формула с двумя узлами имеет вид:

.

Эта формула имеет точность ~5% уже при . При увеличении точность формулы растет.