![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция и ее производные кусочно непрерывны. Предполагаем, что в точках разрыва существуют односторонние производные требуемых порядков.
Разобьем отрезок интегрирования на отрезки так, чтобы на этих отрезках функция и m ее низших производных были непрерывны. На концах отрезков в качестве значений функции возьмем соответствующие односторонние пределы.
Представим интеграл в виде суммы интегралов по отрезкам непрерывности. Для вычисления интеграла на каждом отрезке применим квадратурную формулу порядка точности . Если одновременно и одинаково сгущать сетки на всех отрезках непрерывности, то порядок точности будет p, как и для непрерывных гладких функций. В этом случае, применив правило Рунге достаточное количество раз, можно повысить порядок точности до m.
Если же сгущать сетки, не деля отрезок интегрирования на отрезки непрерывности, то погрешность хотя и будет уменьшаться, но с невысокой скоростью. В этом случае порядок формулы неопределен, и применять правило Рунге или процесс Эйткена нельзя.
Пример 12.28. Рассмотрим вычисление интеграла
.
Здесь подынтегральная функция – непрерывная и гладкая, но вторая производная имеет разрыв в точке .
Если для этой функции выделить отрезки непрерывности, то формула Симпсона дает точный ответ:
.
Если же сгущать равномерную сетку делением пополам, то точка никогда не будет узловой, и следует ожидать плохой сходимости. Результаты расчетов по формулам трапеций и Симпсона приведены в таблице; h обозначает длину подотрезков.
h | 3/2 | 3/4 | 3/8 | 3/16 | |
Формула трапеций | 4.5 | 2.625 | 2.4375 | 2.3555 | 2.3394 |
Формула Симпсона | 2.375 | 2.3281 | 2.3340 | 2.3332 |
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 474 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!