Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Кинематика точки



Точка M движется в плоскости x y. Движение точки М в интервале от t0 до t2 задано уравнениями: , , где x, y – в метрах [м], t- в секундах [см. табл.1.2), Требуется определить траекторию точки M, а для момента времени t = (c) найти ее положение на траектории, скорость, полное, касательную и нормальную составляющие ускорения, а также радиус кривизны траектории в данной точке.

По полученным данным построить в масштабе траекторию точки, для заданного момента t1, найти положение точки на траектории и построить в соответствующих масштабах векторы скорости и ускорения точки.

Таблица 1.2 к РГР К1

x = f1(t), м y = f2(t),м t0, с t2, с t1, с
  4·cos(π/3)t-1 4sin(π/3)t      
  2sin2(π/6)t-3 -2cos2 (π/6)t      
  5t2+4 3t      
  1+2cos(π/4)t 3sin(π/4)t   8/3  
  6t 2t2-4      
  5 cos (π/6)t 3sin(π/6)t      
  3cos2(π/4)t 3sin2(π/4)t      
  3t2-1 6t      
  4 cos (π/3)t+2 4 sin (π/3)t-2   4,5  
  3t 9t2+1   2,5  
  2 е - t + 2 е - t      
  2 sin (p t) + 1 sin (2p t) -2   1,2 1/3
  4 sin2 t -2 2 cos t +1     p/6
  sin (p t) + cos (p t) sin (p t) - cos (p t)     1/6
  3 sin t 2 cos (2 t)   2,5 p/6
  et - t et -е - t   0,5 0,5
  2 cos (2 t) 3 sin2 t + 1-     p/6
  (1/ cos t) + cos t (1/ cos t) - cos t 0,1 1,5 p/6
  2cos2 t 2 sin (2 t) - 1   2,5 p/6
  4cos2 t cos (2 t) +2   2,4 p/6
  3 cos2 (p t) 2 cos2 (2p t)     1/6
  3 sin (p t/ 2) 6 sin2 (p t/ 4)   1,2 1/3
  2 sin2 t 3 cos2 (2 t)   2,2 p/3
  4 cos2 (p t/2) 2 sin (p t)   1,8 1/6
  2 sin2 t sin2 (2 t)   1,5 p/6
  2 t2 t4+ 2 t2+ 1      
  sin (p t2/ 3) + 1 sin (p t2 / 3) - 1   2,5  
  4 cos (p t2/ 3) 2/ cos (p t2/ 3)      
  t- 1 t2 _ 2 t - 1      
  cos (p t2/ 6) - 2 cos2 (p t2/6) + 1      

Пример 1 выполнения расчетно-графической работы К 1

Дано: движение точки задано на плоскости в декартовой системе координат уравнениями движения вида

x= 2t; y=t2+1, (t [c], x,y[м]). (1.39)

Определить уравнение траектории точки, а также для момента времени t = t1=1с найти и изобразить на чертеже ее скорость и ускорение и их составляющие в декартовой системе координат; радиус кривизны траектории при t = t1.

Р е ш е н и е.

Уравнения движения (в табл.1.2) являются уравнениями траектории точки в параметрической форме. Чтобы получить уравнения траектории в канонической виде, исключаем время t из уравнений(1.39))

,

что соответствует уравнению параболы. Участок траектории показан на рис.1.13. Траекторией будет являться лишь часть параболы при x>0, y>0, положение точки в заданный момент времени t 1 = 1с: x = 2 см; y = 2 см.

Проекции скорости точки на оси декартовой системы координат согласно

; ,

имеют вид: = 2; = 2 t, т.е. в рассматриваемом случае в течение всего времени движения перемещение точки происходит по траектории в положительном направлении (проекции скорости на оси координат = 2. = 2 t не меняют своего знака).

Для t = t1 = 1с ─ = 2 м/с; = 2 м/с.

Скорость точки: = = ;

для t = t 1 = 1с ─ = м/с.

Проекции ускорения точки на оси декартовой системы координат согласно

= ; = ,

имеют вид: = 0 м/с2; = 2 м/с2,

для t = t1 = 1с ─ = 0 м/с2; = 2 м/с2.

Ускорение точки: = 2 м/с2. = const

Для определения характера движения (ускоренное или замедленное) точки по траектории следует найти проекцию ускорения на ось, совпадающую по направлению с вектором скорости , т.е. касательное ускорение: = ,

для t = t1 = 1с ─ = = 1,41 м/с2 .

Из формулы определяем нормальное ускорение

= =1,41 м/с2 .

Радиус кривизны траектории точки определяем согласно

= м.

0 1 2 3 4 5 м/с
Y1[м] {см]

 
,

               
   
Vx
     
   
 
   
 
 
 
 


 
Рис.1.13

Построение траектории точки, а также векторов скорости и ускорения точки показано на рис.1.13. Вектор скорости должен быть направлен по касательной к траектории, а вектор ускорения необходимо построить двумя способами: по составляющим и , и по составляющим и . При этом векторы ускорений, построенные двумя способами, должны получиться одинаковыми. Векторы скорости и ускорения точки приложены в точке с координатами x = 2 м; y = 2 м.

Ответ: траектория точки – парабола y= (x>0, y>0);

= 5.6 м; = м/с =2.8 м/с; =2 м/с2; = = 1.4 м/с2;

= = 1.4 м/с2.

Пример 2 выполнения расчетно-графической работы К 1

Исходные данные:


Г л а в а 2





Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 1051 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.011 с)...