 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Кинематика точки
|
|
Точка M движется в плоскости x y. Движение точки М в интервале от t0 до t2 задано уравнениями: 
, 
, где x, y – в метрах [м], t- в секундах [см. табл.1.2), Требуется определить траекторию точки M, а для момента времени t = 
(c) найти ее положение на траектории, скорость, полное, касательную и нормальную составляющие ускорения, а также радиус кривизны траектории в данной точке.
По полученным данным построить в масштабе траекторию точки, для заданного момента t1, найти положение точки на траектории и построить в соответствующих масштабах векторы скорости и ускорения точки.
Таблица 1.2 к РГР К1
| № | x = f1(t), м | y = f2(t),м | t0, с | t2, с | t1, с |
| 4·cos(π/3)t-1 | 4sin(π/3)t | ||||
| 2sin2(π/6)t-3 | -2cos2 (π/6)t | ||||
| 5t2+4 | 3t | ||||
| 1+2cos(π/4)t | 3sin(π/4)t | 8/3 | |||
| 6t | 2t2-4 | ||||
| 5 cos (π/6)t | 3sin(π/6)t | ||||
| 3cos2(π/4)t | 3sin2(π/4)t | ||||
| 3t2-1 | 6t | ||||
| 4 cos (π/3)t+2 | 4 sin (π/3)t-2 | 4,5 | |||
| 3t | 9t2+1 | 2,5 | |||
| 2 е - t + 2 | е - t | ||||
| 2 sin (p t) + 1 | sin (2p t) -2 | 1,2 | 1/3 | ||
| 4 sin2 t -2 | 2 cos t +1 | p/6 | |||
| sin (p t) + cos (p t) | sin (p t) - cos (p t) | 1/6 | |||
| 3 sin t | 2 cos (2 t) | 2,5 | p/6 | ||
| et +е - t | et -е - t | 0,5 | 0,5 | ||
| 2 cos (2 t) | 3 sin2 t + 1- | p/6 | |||
| (1/ cos t) + cos t | (1/ cos t) - cos t | 0,1 | 1,5 | p/6 | |
| 2cos2 t | 2 sin (2 t) - 1 | 2,5 | p/6 | ||
| 4cos2 t | cos (2 t) +2 | 2,4 | p/6 | ||
| 3 cos2 (p t) | 2 cos2 (2p t) | 1/6 | |||
| 3 sin (p t/ 2) | 6 sin2 (p t/ 4) | 1,2 | 1/3 | ||
| 2 sin2 t | 3 cos2 (2 t) | 2,2 | p/3 | ||
| 4 cos2 (p t/2) | 2 sin (p t) | 1,8 | 1/6 | ||
| 2 sin2 t | sin2 (2 t) | 1,5 | p/6 | ||
| 2 t2 | t4+ 2 t2+ 1 | ||||
| sin (p t2/ 3) + 1 | sin (p t2 / 3) - 1 | 2,5 | |||
| 4 cos (p t2/ 3) | 2/ cos (p t2/ 3) | ||||
| t- 1 | t2 _ 2 t - 1 | ||||
| cos (p t2/ 6) - | 2 cos2 (p t2/6) + 1 |
Пример 1 выполнения расчетно-графической работы К 1
Дано: движение точки задано на плоскости в декартовой системе координат уравнениями движения вида
x= 2t; y=t2+1, (t [c], x,y[м]). (1.39)
Определить уравнение траектории точки, а также для момента времени t = t1=1с найти и изобразить на чертеже ее скорость и ускорение и их составляющие в декартовой системе координат; радиус кривизны траектории при t = t1.
Р е ш е н и е.
Уравнения движения (в табл.1.2) являются уравнениями траектории точки в параметрической форме. Чтобы получить уравнения траектории в канонической виде, исключаем время t из уравнений(1.39))
,
что соответствует уравнению параболы. Участок траектории показан на рис.1.13. Траекторией будет являться лишь часть параболы при x>0, y>0, положение точки в заданный момент времени t 1 = 1с: x = 2 см; y = 2 см.
Проекции скорости точки на оси декартовой системы координат согласно
; 
,
имеют вид: 
= 2; 
= 2 t, т.е. в рассматриваемом случае в течение всего времени движения перемещение точки происходит по траектории в положительном направлении (проекции скорости на оси координат = 2. = 2 t не меняют своего знака).
Для t = t1 = 1с ─ 
= 2 м/с; = 2 м/с.
Скорость точки: 
= 
= 
;
для t = t 1 = 1с ─ 
= 
м/с.
Проекции ускорения точки на оси декартовой системы координат согласно
= 
; 
= 
,
имеют вид: 
= 0 м/с2; 
= 2 м/с2,
для t = t1 = 1с ─ = 0 м/с2; = 2 м/с2.
Ускорение точки: 
= 2 м/с2. = const
Для определения характера движения (ускоренное или замедленное) точки по траектории следует найти проекцию ускорения на ось, совпадающую по направлению с вектором скорости 
, т.е. касательное ускорение: 
= 
,
для t = t1 = 1с ─ 
= 
= 1,41 м/с2 .
Из формулы 
определяем нормальное ускорение
= 
=1,41 м/с2 .
Радиус кривизны траектории точки определяем согласно
= 
м.
|
|
|
,
| |||||||
 | |||||||
| |||||||
| |||||||
 |
Построение траектории точки, а также векторов скорости и ускорения точки показано на рис.1.13. Вектор скорости должен быть направлен по касательной к траектории, а вектор ускорения необходимо построить двумя способами: по составляющим и , и по составляющим и 
. При этом векторы ускорений, построенные двумя способами, должны получиться одинаковыми. Векторы скорости и ускорения точки приложены в точке с координатами x = 2 м; y = 2 м.
Ответ: траектория точки – парабола y= 
(x>0, y>0);
= 5.6 м; = м/с =2.8 м/с; 
=2 м/с2; = = 1.4 м/с2;
= = 1.4 м/с2.
Пример 2 выполнения расчетно-графической работы К 1
Исходные данные:
Г л а в а 2
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 1069 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
