Понятие о сопровождающем (естественном) трехграннике

Прежде чем находить ускорение при траекторном (естественном) способе задания движения точки, введем понятие о сопровождающем трехграннике, определим оси естественной системы координат и ее векторный базис, т.е. систему трех единичных векторов, задающих положительное направление этих осей (рис.1.10).

Первая ось траекторной системы координат ¾ ось, касательная к кривой ( траектории ) в данной точке М, Рис.1.10 положительное направление

которой следует принимать в соответствии с выбранным положительным

направлением (движения точки по траектории) траекторной координаты s; обозначается ¾ .

Единичный вектор всегда направлен по касательной к траектории в соответствии с выбранным положительным направлением траекторной координаты s и модуль его равен .

Вторая ось естественной системы координат ¾ нормальная ось (нормаль), расположена в соприкасающейся плоскости, перпендикулярна касательной к траектории в точке и направлена в сторону вогнутости траектории движения точки, обозначается ¾ .

Здесь следует напомнить некоторые сведения из дифференциальнойгеометрии. Если откладывать касательные к траектории и в текущие моменты времени (рис.1.10), то очевидно, что приращение траекторной координаты за время = составит = , а касательная к траектории за это же время повернется на угол смежности .

Отношение этих приращений за рассматриваемый промежуток времени определяет среднюю кривизну траектории . (1.25)

Рис.1.11

Предел этого отношения, когда приращение траекторной координаты, т.е. расстояние между двумя близлежащими точками М и М^’ траектории стремится к нулю, есть производная от по скалярному аргументу s

равен кривизне траектории в данной точке:

(1.26)

где ¾ радиус кривизны траектории в данной точке.

Кроме того, следует учесть, что производная от единичного вектора по скалярному аргументу s естьвектор, перпендикулярный и направлен по нормали к касательной траектории движения точки в сторону ее вогнутости.

Без вывода приводим нужную в дальнейшем зависимость

(1.27 *):

Тогда единичный вектор , задающий положительное направление нормальной оси, может быть определен как:

. (1.28)

Вектор лежит в соприкасающейся плоскости, перпендикулярен касательной и направлен в сторону вогнутости траектории к центру ее кривизны в данной точке.

Третья ось естественной системы координат называется бинормальной осью (бинормалью), обозначается¾ b. Она перпендикулярна к к касательной и нормальной осям, а ее положительное направление совпадает с

единичным вектором бинормали , который определяется как результат векторного произведения единичных векторов и в виде

(1.29)

Таким образом, векторный базис , и определяют положительное направление соответствующих координатных осей в каждой точке траектории. Оси естественной системы координат: касательная ¾ , нормаль ¾ и бинормаль ¾ b, построенные в точке M т раектории, образуют естественный трехгранник. При движении точки M по своей траектории естественный трехгранник с вершиной в точке M также движется и ориентация его граней и осей, их образующих, изменяется в пространстве.