Формула Стокса

Нехай задано векторне .

Якщо функції неперервні разом зі своїми частинними похідними 1-го порядку на поверхні і – замкнений контур, який обмежує поверхню , то справедлива формула Стокса

Цій формулі можна надати векторний зміст

.

Тобто циркуляція по замкненому контуру дорівнює потоку ротора через поверхню , яка натягнута на контур .

Задача 30. Знайти похідну функції унапрямі вектора в т. та , якщо , .

Розв’язання: Похідну функції у напрямі вектора в точці обчислюємо за формулою:

,

де – напрямні косинуси вектора .

Знайдемо вектор , довжина якого . Напрямні косинуси вектора : .

Знайдемо частинні похідні першого порядку функції в точці : ;

; .

Маємо:

.

Градієнт функції в точці знайдемо за формулою:

. Маємо

.

Задача 31. Знайти похідну скалярного поля в точці в напрямі, який йде до точки .

Розв’язання: Для знаходження похідної за напрямом скористаємось формулою . Знайдемо одиничний вектор заданого напрямку:

, ,

, , тобто маємо .

Знайдемо значення частинних похідних в точці .

,

,

Отже маємо .

Задача 32. Знайти , та для векторного поля , де точка

Розв’язання: За означенням ротор векторного поля в довільній точці знаходиться за формулою:

.

Маємо

Знайдемо ротор в точці і його модуль , . За означенням, дивергенція векторного поля в довільній точці знаходиться за формулою: . В нашому випадку

Дивергенція в точці : .

Задача 33. Знайти в точці дивергенцію і ротор векторного поля .

Розв’язання: Для заданого векторного поля , , . Тоді ,

.

.

Задача 34. Обчислити потік векторного поля

через зовнішню поверхню піраміди, створену площиною та координатними площинами, двома способами: а) за означенням; б) за допомогою формули Остроградського - Гаусса.

Розв’язання: а) Запишемо рівняння площини у відрізках і побудуємо її. Маємо піраміду . Обчислимо потік за допомогою поверхневого інтеграла , де –

зовнішня поверхня піраміди . Обчислимо потік через кожну грань піраміди:

1) лежить у площині і має рівняння . Нормальний вектор , , :

. Знайдемо Потік через :

;

2) лежить у площині і має рівняння . Нормальний вектор . Так як мається на увазі зовнішня сторона, то . : . Знайдемо Потік через :

;

3) лежить у площині і має рівняння . Нормальний вектор . Так як мається на увазі зовнішня сторона, то , , : . Знайдемо Потік через :

;

4) належить площині . Нормальний вектор площини . Знайдемо орт нормального вектора:

. Диференціал поверхні визначається формулою: . Маємо і

. Тоді . Знайдемо .

Слід площини в площині – це пряма Þ . Потік через :

.

Потік через повну поверхню піраміди :

.

б) за формулою Остроградського – Гаусса , де , .

Знайдемо частинні похідні:

, . Інтеграл дорівнює об’єму піраміди . Маємо . Тоді .

Задача 35. Обчислити циркуляцію векторного поля

по контуру трикутника, який з¢являється внаслідок перетину площини з координатними площинами, при додатному напрямку обходу відносно нормального вектора цієї площини двома способами: а) за означенням; б) за формулою Стокса.

Розв’язання:

Побудуємо площину , маємо D .

а) за означенням циркуляція

1) на відрізку маємо: , , ,

.

;

2) на відрізку маємо:

,

;

3) на відрізку маємо: , , ,

.

Маємо .

б) Обчислимо циркуляцію векторного поля за формулою Стокса:

,

де .

Ротор векторного поля обчислюємо за формулою

,

у випадку, коли поверхня проектується у площину .

Знайдемо ротор заданого векторного поля

В нашому випадку поверхня – частина площини, обмеженої , який лежить у площині . Нормальний вектор площини забезпечує потрібний напрям орієнтації поверхні. Орт цього вектора Знайдемо

. З рівняння площини маємо

. Інтеграл дорівнює площі : . Тоді .

Задача 36. а) Обчислити за формулою Остроградського – Гаусса потік векторного поля через повну зовнішню поверхню трикутної піраміди, яка обмежена поверхнями , , , . б) Обчислити за формулою Стокса циркуляцію векторного поля по сторонах трикутника в додатному напрямі (проти годинникової стрілки, коли дивитися з кінця нормального вектора).

Розв’язання: Запишемо рівняння площини у відрізках і побудуємо її. Маємо піраміду з вершинами у точках .

а) Обчислимо потік через повну поверхню користуючись формулою Остроградського – Гаусса. Для цього знайдемо дивергенцію векторного поля: .

Тоді

.

б) Знайдемо циркуляцію користуючись формулою Стокса

де поверхня натягнута на контур . За поверхню візьмемо поверхню, яка складається з трикутників . Напрям нормалей на цих трикутниках буде співпадати з напрямом осей координат. Знайдемо вектор .

.

Тоді

На поверхні нормальний одиничний вектор , елемент поверхні . Тому

.

На поверхні нормальний одиничний вектор , елемент поверхні . Тому

.

На поверхні нормальний одиничний вектор , елемент поверхні . Тому

.

Таким чином маємо .

Можна спростити обчислення циркуляції, якщо врахувати і контур – це трикутник , який належить площині . Нормальний вектор площини забезпечує потрібний напрям орієнтації поверхні. Орт цього вектора . Знайдемо . З рівняння площини матимемо: . Тоді

. Інтеграл дорівнює площі :

. Тоді .