Обчислення площі поверхні, утвореної обертанням кривої навколо вісі або

а) крива задана рівнянням і обертається навколо вісі . Тоді площа поверхні обертання обчислюється за формулою:

б) крива задана параметричним рівнянням і обертається навколо вісі . Тоді площа поверхні обертання

обчислюється за формулою:

в) крива задана рівнянням у полярних координатах і обертається навколо полярної вісі. Тоді площа поверхні обертання обчислюється за формулою: .

Задача 12. Обчислити площу поверхні обертання.

1) крива задана рівнянням , і обертається

навколо . Площу поверхні обертання обчислюємо за формулою:

.

Маємо ,

Q _х = 2

=

2) - кардіоїда обертається навколо полярної вісі. Площу поверхні обертання обчислюємо за формулою:

Q_j = 2 . Маємо , .

=32

3) , обертається навколо . Площу поверхні обертання обчислюємо за формулою:

Маємо , , .

.

Обчислення об’єму тіла, утвореного обертанням плоскої фігури навколо вісі або .

а) плоска фігура обмежена кривими: , і обертається навколо вісі . Тоді об’єм тіла, утвореного обертанням плоскої фігури, обчислюється за формулою: ;

б) плоска фігура обмежена кривою, заданою параметричним рівнянням і обертається навколо вісі . Тоді об’єм тіла, утвореного обертанням плоскої фігури, обчислюється за формулою: ;

в) плоска фігура обмежена кривою, заданою у полярних координатах і обертається навколо полярної вісі. Тоді об’єм тіла, утвореного обертанням плоскої фігури, обчислюється за формулою: .

Задача 13. Обчислити об’єм тіла обертання плоскої фігури обмеженої лініями

1) , обертається навколо . Зробимо рисунок

Об’єм тіла, утвореного обертанням плоскої фігури, обчислюємо за

формулою: , де

.

2) , обертається навколо полярної вісі. Зробимо рисунок.

Об’єм тіла, утвореного обертанням плоскої фігури, обчислюємо за формулою: , де .

_.

3) Обертається навколо . Це рівняння еліпса.

Об’єм тіла, утвореного обертанням плоскої фігури, обчислюємо за формулою: , де , , (так як фігура симетрична відносно вісі , подвоїмо результат)

.

Координати центра маси плоскої фігури обчислюються за формулами: , де – маса плоскої фігури, – статичний момент відносно вісі , – статичний момент відносно вісі , – густина плоскої фігури ( для однорідної фігури).

1) якщо плоска фігура обмежена лініями: , , то , , знаходимо за формулами:

;

2) якщо однорідна плоска фігура обмежена кривою, заданою

параметричним рівнянням , то , , знаходимо за формулами:

,

;

3) якщо однорідна плоска фігура обмежена кривою, заданою рівнянням у полярних координатах , то , , знаходимо за формулами:

,

.

Задача 14. Знайти координати центра мас однорідної фігури, обмеженої першою аркою циклоїди , та віссю .

Знайдемо за наведеними вище формулами.

;

=

=

;

.

Координати центра маси плоскої кривої обчислюються за формулами , де m – маса плоскої кривої, – статичний момент відносно вісі , – статичний момент відносно вісі , густина плоскої кривої – для однорідної кривої).

а) якщо плоска крива задана рівнянням , то , , знаходимо за формулами:

, ,

;

б) якщо однорідна плоска крива задана параметричним рівнянням , то , , знаходимо за формулами:

, ,

;

в) якщо однорідна плоска крива задана рівнянням у полярних координатах , то , , знаходимо за формулами:

, ,

.

Задача 15. Знайти координати центра маси однорідної плоскої дуги півкола , розташованої над віссю .

Знайдемо , , за наведеними вище формулами. Маємо

, . Тоді і

.

Тоді , .

Визначений інтеграл застосовують для знаходження:

а) роботи змінної сили , яка діє на відрізку : ;

б) шляху , пройденого точкою за проміжок часу від до зі швидкістю : ;

в) маси неоднорідного стержня з густиною на відрізку

: .