Скалярне поле. Похідна за напрямом. Градієнт скалярного поля

Скалярне поле задано, якщо кожній точці поставлено у відповідність певне число . В прямокутній декартовій системі координат скалярне поле може бути задано функцією .

Похідна скалярного поля в напрямі , заданому вектором

, обчислюється за формулою

,

де , .

Якщо в просторі вибрана декартова система координат, то градієнт функції обчислюється за формулою

Між похідною поля за напрямом і градієнтом існує наступний зв’язок

,

де – одиничний вектор напрямку , а – кут між градієнтом та вектором . З попередньої формули випливає, що максимальне значення похідної за напрямом досягається в напрямі градієнта і її значення дорівнює модулю градієнта

.

Якщо у тривимірному просторі поверхня задана рівнянням , то градієнт буде перпендикулярний до цієї поверхні в довільній її точці. Тобто нормальний до поверхні вектор може бути записаний у вигляді , а нормальний одиничний вектор буде дорівнювати .