Застосування подвійних інтегралів

а)обчислення площі плоскої фігури;

Площа плоскої області дорівнює . Якщо область визначена нерівностями , то площа дорівнює . Якщо область визначена нерівностями

, то площа дорівнює .

Якщо область у полярних координатах визначена нерівностями , то площа дорівнює

б) обчислення об’ємів;

Об’єм циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі і яке обмежене знизу областю , що лежить на площині , а зверху поверхнею , яка неперервна в області , знаходиться за формулою . Якщо циліндричне тіло обмежене зверху поверхнею , а знизу поверхнею і проектується на площину в область , то об’єм обчислюється за формулою .

в) обчислення площі поверхні;

Якщо поверхня, яка задана рівнянням , проектується на

площину в область і функції неперервні в цій області, то площу цієї поверхні знаходять за формулою: . Якщо поверхня має рівняння виду , то

, де – проекція поверхні на площину . Якщо поверхня має рівняння виду , то

, де – проекція поверхні на площину .

г) маса плоскої пластини;

Нехай на площині пластина займає замкнену область , в кожній точці якої відома густина , розмірність якої . Маса такої пластини визначиться за формулою

д) центр маси пластини, статичні моменти:

Центр маси пластини обчислюється за формулами , , де , – статичні моменти пластини відносно осей та відповідно. Якщо пластина однорідна, то густина .

е) моменти інерції пластини;

Моменти інерції пластини та , відносно координатних осей і обчислюється за формулами: , . Момент інерції пластини відносно початку координат .

Зауваження: якщо в формулах для обчислення моментів інерції покласти , то одержимо геометричні моменти інерції.

Задача 21. Обчислити площу плоскої фігури, обмежену лініями: .

Розв’язання: Побудуємо плоску фігуру, обмежену заданими лініями. Знайдемо точки перетину ліній, що обмежують фігуру. Для

цього розв’яжемо систему рівнянь:

. Дістанемо та . Фігура знаходиться між двома перпендикулярами: та . В цей час змінюється від до . Запишемо подвійний інтеграл через повторний (випадок I):

= (кв.од.)

Задача 22. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями та .

Розв’язання: Розглянемо восьму частину заданого тіла. Поверхня, яка обмежує її зверху проектується в площину у чверть кола радіуса з центром в точці :

Для обчислення об’єму циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі , яке обмежене знизу поверхнею , а зверху – поверхнею застосовують формулу:

. В нашому випадку , а . Тоді (куб.од).

Маємо (куб.од).

Задача 23. Знайти площу частини конуса , що міститься в середині циліндру .

Розв’язання: Зробимо рисунок поверхні. Площу поверхні обчислимо за формулою:

, де – проекція даної поверхні на

площину . Розв’яжемо рівняння конуса відносно :

. Знайдемо частинні похідні по та :

Область у площині є круг, обмежений колом

Знайдемо підінтегральну функцію:

, тому .

Так як область інтегрування є круг, то перейдемо у полярну систему координат: . Запишемо рівняння кола у полярних координатах:

, .

(кв. од.).

Задача 24. Знайти масу матеріальної пластини, що має форму замкненої області , обмеженої лініями: а густина в кожній точці визначається функцією , неперервною в області .

Розв’язання: Побудуємо область

Маса такої пластини визначається за формулою: .

Маємо .

.

Задача 25. Знайти центр маси однорідної пластини, обмеженої кривою та віссю .

Розв’язання: Зробимо рисунок пластини.

Координати центра маси пластини обчислюється за формулами , , де , , . Так як пластина однорідна, то . В цьому випадку матимемо

.

Обчислимо інтеграли

;

.

Тоді .