![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Эти интегралы являются простейшими обобщениями понятие интеграла Римана. Различают два основных типа несобственных интегралов: интегралы с бесконечными пределами и интегралы от функций с особыми точками.
Интегралы с бесконечными пределами. По определению
,
,
,
причем А и В стремятся к бесконечности независимо друг от друга.
Если указанные пределы существуют, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся; в противном случае – расходятся.
Если существует предел в симметричных границах
,
то этот предел называют главным значением несобственного интеграла.
Пример 2.6.
Рассмотрим несобственный интеграл , а > 0. Поскольку при a ¹ 1
,
а при a = 1
,
то исходный интеграл при a > 1сходится, а при a £ 1 – расходится.n
Пример 2.7.
Несобственный интеграл сходится и совпадает со своим главным значением, поскольку
.n
Достаточные признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами. Поскольку интеграл заменой переменной x = -z сводится к интегралу
, а интеграл
разбивается на сумму двух интегралов
, где с – произвольное число (см. раздел 2.3, свойства перемены местами пределов интегрирования и аддитивности для интеграла Римана), то достаточно сформулировать признаки сходимости для интегралов вида
.
Критерий Коши. Несобственный интеграл вида сходится тогда и только тогда, когда для любого e > 0 существует такое b < + ¥,что для всех b ', b "> b
n
Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл
Если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он сходится и в обычном смысле, т.е. из сходимости интеграла следует сходимость интеграла
n
Признаки сравнения. Если для функции f (x) ³ 0 при х ³ a существует предел
,
то при a > 1 и 0 £ k < + ¥ несобственный интеграл сходится, а при a £ 1 и 0 < k £ +¥ несобственный интеграл расходится. n
Пример 2.8.
Рассмотрим несобственный интеграл . Полагая a = 1, имеем
, т.е. k = 1. Следовательно, данный интеграл расходится. Напротив, несобственный интеграл
сходится, поскольку, полагая a = 1,5, имеем
, т.е. k = 0n
Дата публикования: 2014-10-25; Прочитано: 564 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!